Zwei Rätsel zur Projective Symmetry Group (PSG)?

Kürzlich studiere ich PSG und ich war sehr verwirrt über zwei Aussagen, die in Wens Zeitung erschienen . Um die Fragen klar darzustellen, stellen Sie sich vor, dass wir das Shwinger-Fermion verwenden$\mathbf{S}_i=\frac{1}{2}f_i^\dagger\mathbf{\sigma}f_i$Mean-Field-Methode, um das 2D-Spin-1/2-System zu untersuchen und einen Mean-Field-Hamiltonoperator zu erhalten$H(\psi_i)=\sum_{ij}(\psi_i^\dagger u_{ij}\psi_j+\psi_i^T \eta_{ij}\psi_j+H.c.)+\sum_i\psi_i^\dagger h_i\psi_i$, Wo$\psi_i=(f_{i\uparrow},f_{i\downarrow}^\dagger)^T$,$u_{ij}$Und$\eta_{ij}$Sind$2\times2$komplexe Matrizen und$h_i$Sind$2\times2$Hermitesche Matrizen. Und die Projektion auf den Spin-Unterraum wird durch einen projektiven Operator implementiert$P=\prod _i(2\hat{n}_i-\hat{n}_i^2)$(Anmerkung hier$P\neq \prod _i(1-\hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow})$). Meine Fragen sind:

(1) Wie gelangt man zu Gleichung (15)? Gleichung (15) bedeutet, dass, wenn$\Psi$Und$\widetilde{\Psi}$sind die Mittelfeld-Grundzustände von$H(\psi_i)$Und$H(\widetilde{\psi_i})$, bzw. dann$P\widetilde{\Psi}\propto P\Psi$, Wo$\widetilde{\psi_i}=G_i\psi_i,G_i\in SU(2)$. Wie beweist man diese Aussage?

(2) Die Aussage zur Translationssymmetrie über Gl. (16), die wie folgt formuliert werden kann: Sei$D:\psi_i\rightarrow \psi_{i+a}$sei der unitäre Übersetzungsoperator ($a$ist der Gittervektor). Wenn es eine gibt$SU(2)$Transformation$\psi_i\rightarrow\widetilde{\psi_i}=G_i\psi_i,G_i\in SU(2)$ so dass $DH(\psi_i)D^{-1}=H(\widetilde{\psi_i})$, dann der projizierte Spinzustand$P\Psi$hat Translationssymmetrie$D(P\Psi)\propto P\Psi$, Wo$\Psi$ist der mittlere Feldgrundzustand von$H(\psi_i)$. Wie beweist man diese Aussage?

Ich kämpfe seit mehreren Tagen mit den beiden obigen Rätseln und kann sie immer noch nicht verstehen. Ich würde mich sehr über Ihre Antwort freuen, vielen Dank.