Sind mögliche Eichfelder in einer Lagrange-Theorie immer durch die Struktur der geladenen Freiheitsgrade bestimmt?

Ich habe versucht zu verstehen, was Sie möglicherweise mit einer "nichtdynamischen Symmetrie" meinen (was sicherlich kein Begriff ist, der normalerweise in Artikeln von "Mainstream" -Autoren verwendet wird, um es höflich auszudrücken) und ich war überzeugt, dass dies nicht der Fall ist bedeutet alles.

Das Problem entsteht im dritten Satz, wenn Sie schreiben, dass dies die "allgemeinste Eichtransformation" ist

$$L \to L+\frac{d\Lambda}{dt}.$$ Aber das ist keine "Transformation" im vernünftigen Sinne, die ich mir vorstellen kann. Dies ist ein Ergebnis, das Ihnen sagt, wie sich die Lagrange-Funktion unter etwas transformiert – sie transformiert sich in sich selbst bis zu einer totalen Ableitung. Aber um eine Transformation zu definieren, muss man eigentlich sagen, wie die fundamentalen Felder sind $q,p$tatsächlich transformieren, und nicht nur, wie sich die Lagrange-Transformation verändert.

Wenn sich eine Lagrange-Funktion bis zu einer totalen Ableitung in sich selbst transformiert, bedeutet dies, dass die Aktion

$$S = \int dt\,L$$ kann bei einigen günstigen Anfangsbedingungen bei invariant bleiben $\pm\infty$. Es ist also ganz allgemein erlaubt, wenn Symmetrien die Lagrangedichte (bzw. die Lagrangedichte) bis zu sich selbst plus einer totalen Ableitung – oder bis zur Divergenz – transformieren $\partial_\mu V^\mu$im Fall der Feldtheorie (mehrdimensional). Im Komponentenformalismus (nicht Superraum) ist diese Addition totaler Ableitungen/Divergenzen zB für Supersymmetrietransformationen unvermeidlich.

Aber dieses Ergebnis, wie sich die Lagrange-Funktion selbst transformiert, ist ein äußerst kleiner Teil der Informationen, die Sie benötigen, um tatsächlich eine Transformation oder Symmetrie zu definieren. Ich glaube also nicht, dass Sie eine Symmetrie definiert haben, indem Sie sagen, wie sich die Lagrange-Funktion darunter transformiert. Es gibt unendlich viele Transformationen, die diese Eigenschaft haben.

Die Möglichkeit, der Lagrange-Funktion eine totale Ableitung hinzuzufügen, ist völlig allgemein, aber spezifische Eichsymmetrien – wie die Yang-Mills-Symmetrie, Diffeomorphismen oder lokale SUSY – sind viel spezieller.

Ich denke, der Grund, warum Sie glauben, dass Sie eine U (1) -Symmetrie aus der Gesamtableitung "ableiten", läuft auf Ihr verwirrendes Symbol hinaus$\Lambda$dessen totale Ableitung zur Lagrangefunktion addiert wird. Aber das Ding$\Theta$dessen Ableitung zur Lagrangefunktion addiert wird, ist a priori nicht dasselbe wie der Parameter einer U(1)-Transformation. Stattdessen,$\Theta$kann eine beliebige komplizierte Funktion der Felder (Freiheitsgrade) sowie der Parameter aller Eichtransformationen und vielleicht Ableitungen von allem sein.

Für eine einfache Sammlung klassischer Teilchen und eine elektromagnetische Symmetrie U (1) gilt:$\Theta$kann eine einfache Funktion von sein$\Lambda$nur (es ist eigentlich die Summe von$\Lambda(\vec x_i)$an den Positionen aller Partikel ausgewertet und über diese Partikel summiert, sodass die Beziehung nicht so trivial ist, wie Sie vermuten); für andere Symmetrien ist es eine kompliziertere Funktion. Aber Sie müssen tatsächlich untersuchen, wie sich die Freiheitsgrade unter einer Möchtegern-Symmetrie umwandeln, um festzustellen, ob sie vorhanden ist oder nicht. Sie können nicht nur darauf achten, wie sich die Lagrange-Funktion transformieren sollte. Wenn Sie dies tun, entdecken Sie Yang-Mills-Symmetrien, Diffeomorphismen, lokale SUSY und einige andere als sinnvolle lokale Symmetrien. Aber diese Arbeit kann nicht allein durch Betrachten der gesamten Ableitungen erledigt werden.