Spitze eines sich ausbreitenden Wellenpakets: Asymptotik jenseits aller Ordnungen einer Sattelpunktentwicklung

Question

Spitze eines sich ausbreitenden Wellenpakets: Asymptotik jenseits aller Ordnungen einer Sattelpunktentwicklung

Slawen

Dies ist eine technische Frage, die sich aus der Abbildung eines nicht verwandten Problems auf die Dynamik eines nicht-relativistischen massiven Teilchens in 1 + 1-Dimensionen ergibt. Dieses Problem wird bei der Asymptotik von einem Term jenseits aller Ordnungen einer Sattelpunktentwicklung (singuläre Terme einer asymptotischen Reihe) dominiert, wie beim Problem der Lebensdauer eines gebundenen Zustands in einer negativen 1+0-Kopplung $\phi^4$ Spielzeugmodell.

Betrachten Sie ein Teilchen mit einer anfänglichen (normalisierten) Wellenfunktion

ψ_{0} (X) = e^{- (X + e^{- X}) / 2}

$\psi_0(x) = e^{-(x+e^{-x})/2}$ Diese spezifische Form definiert eine natürliche Einheit für

x

$x$ , beachte die doppelexponentielle Asymptotik von

ψ_{0} (x)

$\psi_0(x)$ als

x \to - \infty

$x \to -\infty$ .

Zeitentwicklung unter dem Hamiltonian $\mathcal{H}=-\frac{1}{2}\partial_x^2$ transformiert die Wellenfunktion zu (mit dem Lehrbuchpropagator )

ψ (X, T) = (2 π ich T)^{- 1 / 2} \int e^{ich (X - X^{'})^{2} / (2 T)} ψ_{0} (X^{'}) D X^{'}

$\psi(x,t) = (2 \pi i t)^{-1/2} \int e^{i (x-x')^2/(2t)} \psi_0(x') d x'$

Meine Frage betrifft die Asymptotik dieses Integrals , insbesondere die führende Front, die sich nach links ausbreitet. Hier bin ich an die Wand gefahren:

Die Sattelpunkterweiterung in $t^{-1}$ gibt

T | ψ (X, T) |^{2} \sim e^{- e^{- X}} [1 + (e^{3 X} - 2 e^{2 X}) T^{- 1} / 8 + Ö (T^{- 2})]

$t |\psi(x,t)|^2 \sim e^{-e^{-x}} \left [1 + (e^{3x} -2 e^{2x}) \, t^{-1} /8 + O(t^{-2}) \right ]$ was gut konvergiert (numerisch überprüft) für

x ≳ 1

$x \gtrsim 1$ , kann aber die Bestellbedingungen nicht erfassen

e^{x / t}

$e^{x/t}$ die bei Negtavie über die doppelte Exponentialfunktion dominieren

x

$x$ .

Für $t \to +\infty$ die Lösung wird symmetrisch,

| ψ (X, T \to \infty) |^{2} = \frac{1}{T cosch (π X / T)}

$|\psi(x,t \to \infty)|^2=\frac{1}{t \cosh (\pi x/t)}$

Irgendwelche Ideen/Hinweise werden geschätzt.

EDIT: Das Ergebnis wurde in einer Veröffentlichung verwendet: Phys. Rev. Lett. 109, 216801 (2012) ; Open-Access- Version , siehe Gl. (9).

QMechaniker

Kleiner Tippfehler in der Frage (v3): Die Quadratwurzel

(2 π i t)^{1 / 2}

$(2\pi it)^{1/2}$ in der zweiten Formel sollte im Nenner stehen.

Slawen

@Qmechanic Danke, das wurde behoben! Ich neige zu Tippfehlern :(

Antworten (1)

Spitze eines sich ausbreitenden Wellenpakets: Asymptotik jenseits aller Ordnungen einer Sattelpunktentwicklung

Kleiner Tippfehler in der Frage (v3): Die Quadratwurzel $(2\pi it)^{1/2}$ in der zweiten Formel sollte im Nenner stehen.
@Qmechanic Danke, das wurde behoben! Ich neige zu Tippfehlern :(

Slawen · Answer 1

Nach einigem Ringen und einem nützlichen Hinweis eines Kollegen löste sich das Problem schließlich:

Gehen zu Schwung Raum gibt
$ψ_{0 k} = \int ψ_{0} (X) e^{ich k X} D X = 2^{- ich k + 1 / 2} Γ (- ich k + 1 / 2)$ $\psi_{0k} = \int \psi_0(x) e^{i k x} dx= 2^{-ik+1/2} \Gamma(-ik+1/2)$
Anwendung der Zeitentwicklung mit $\mathcal{H}=k^2/2$ gibt
$ψ (X, T) = \frac{1}{2 π} \int e^{- ich k^{2} T / 2 - ich k X} ψ_{0 k} D k$ $\psi(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int e^{-i k^2 t/2-i k x} \psi_{0k} dk$
Mit Groß- $z$ asymptotische Entwicklung für $\Gamma(z+1)$ und Identifizieren eines stationären Phasenpunkts in der Nähe $k \approx -x/t$ Geben Sie die führende Ordnung an, die mit der Asymptotik von zusammenfällt $t \gg 1$ Lösung:
$ψ (X, T) \sim (2 / T) e^{π X / T}$ $\psi(x,t) \sim (2/t) e^{\pi x/t}$
Schließlich wird der Vorfaktor wiederhergestellt, indem alle führenden Protokolle in der Erweiterung von aufbewahrt werden $\Gamma(z+1)$ und das Auflösen nach dem stationären Punkt unter Verwendung der Lambert-W-Funktion (für die Mathematica die Asymptotik gut handhabt ) gibt die endgültige Antwort
$ψ (X, T) = (2 / T) e^{π X / T} (- 2 X / T)^{π / T} + Ö (T^{1 + ϵ})$ $\psi(x,t) = (2/t) e^{\pi x/t} (-2 x/t)^{\pi/t} + O(t^{1+\epsilon})$ mit $\epsilon>0$ , Gültig für $x \ll -t$ für beide $t$ Groß und klein.

Danke an alle, die aufmerksam waren und mit Ratschlägen geholfen haben.

Spitze eines sich ausbreitenden Wellenpakets: Asymptotik jenseits aller Ordnungen einer Sattelpunktentwicklung

Slawen

QMechaniker

Slawen

Antworten (1)

Slawen

Die explizite Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen, die als Delta-Funktion beginnt

Wasserstoff-Radialwellenfunktion unendlich bei r=0r=0r=0

Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung

Wann können wir davon ausgehen, dass die Wellenfunktion separabel ist

Sub- und Supermultiplikativität von Normen zum Verständnis von Nicht-Lokalität

Wave funktioniert, wenn xxx ins Unendliche geht

Kontinuität und Glätte der Wellenfunktion

Nichtentartung der Eigenwerte des Zahlenoperators für einfachen harmonischen Oszillator [Duplikat]

Strenger Beweis der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung

Negative Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik