Nichtentartung der Eigenwerte des Zahlenoperators für einfachen harmonischen Oszillator [Duplikat]

Mögliches Duplikat:
Beweis, dass der eindimensionale einfache harmonische Oszillator nicht entartet ist?

Ich versuche mich davon zu überzeugen, dass die Eigenwerte N des Zahlenoperators N = A † A für den einfachen harmonischen Quantenoszillator sind nicht entartet.

Ich sehe keinen Weg, dies zu tun, nur angesichts der Operatoralgebra für Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren. Gibt es eine einfache Möglichkeit, dies zu zeigen, oder hängt es von etwas Tieferem ab? Ich würde mich über jedes detaillierte Argument oder einen Einblick freuen! Vielen Dank im Voraus.

Sie wissen, dass Fock sagt | N ⟩ generiert durch Anwendung des Erstellungsoperators N Zeiten zum Vakuum haben unterschiedliche Energien, also wenn Sie zeigen können, dass diese Zustände eine vollständige Basis bilden, dann sind Sie fertig.
@MarkMitchison: Ich bin in Bezug auf meine grundlegende Quantenmechanik etwas eingerostet - könnten Sie die Relevanz der Hermite-Polynome erläutern (möglicherweise im Kontext einer vollständigen Antwort). Vielen Dank!
Die Hermite-Polynome sind die Wellenfunktionen, die den Eigenzuständen des harmonischen Oszillators entsprechen. Sie können sie rekursiv aus dem Grundzustand finden, indem Sie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Positionsdarstellung verwenden. Beispielsweise wird der Vakuum-(Grund-)Zustand definiert durch
A ^ | 0 ⟩ = M ω 2 ℏ ( X ^ + ich M ω P ^ ) | 0 ⟩ = 0
⇒ M ω 2 ℏ ( X + ℏ M ω ∂ ∂ X ) ψ 0 ( X ) = 0
⇒ ψ 0 ( X ) ∼ e − M ω X 2 2 ℏ
@MarkMitchison: Okay, also zu zeigen, dass die Spannweite der Hermite-Polynome ausreicht, da jedes Hermite-Polynom eine andere hat N Eigenwert, und wenn sie sich überspannen, dann kann es unmöglich Entartung für irgendeinen Eigenwert geben. Aber zu beweisen, dass sie sich überspannen, ist eine Standard-Funktionsanalyse, also sind wir fertig. Hab ich recht? In diesem Fall geht der Schlüssel zu expliziten Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung, da die Algebra nicht ausreicht, um dieses Ergebnis zu erhalten.
Ja, das war mein Argument. Ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist zu sagen, dass man es mit Algebra nicht machen kann; Ich erinnere mich, dass ich mich das letzte Mal, als ich dies mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren tat, davon überzeugen konnte, dass nichts außer Fock-Zuständen Eigenzustände des SHO-Hamilton-Operators sein könnten. Vielleicht war ich aber faul... Auf jeden Fall bin ich mir sicher, dass es einen Weg gibt, dies zu tun, ohne die Positionsdarstellung aufzurufen: Es gibt nichts Besonderes an der Positionsdarstellung!
@MarkMitchison: Aber sicherlich gewinnt man etwas, wenn man zur Positionsdarstellung geht, nämlich mehr Informationen darüber, wie die Zustände aussehen. Sobald wir konkret wissen, dass die Zustände die Hermite-Polynome sind und der Hilbert-Raum der Raum der normierbaren Wellenfunktionen ist, dann sind wir fertig. Aber ist es nicht gerade die Positionsrepräsentation, die uns das gibt? Ich denke, der Impulsraum würde genauso gut funktionieren, aber irre ich mich in der Annahme, dass wir Informationen gewinnen, indem wir an Wellenfunktionen denken und nicht nur an Zustände? Danke für deine Hilfe!
Ja, aber Sie erhalten nur Informationen über die Position! In der Impulsbasis erhält man Informationen über die Impulsverteilung (die Wellenfunktionen sind in beiden Grundlagen für den harmonischen Oszillator gleich, weil der Hamilton-Operator untersymmetrisch ist X ↔ P in einem geeigneten Einheitensystem). Jede Grundlage reicht aus, die Position hat keinen Sonderstatus. Die Leiteroperatoren sind schließlich nur eine kanonische Rotation von Positions- und Impulsoperatoren, sodass Sie genauso zur kohärenten Zustandsbasis gehen könnten ; dem Hamiltonian ist es egal, welche Basis Sie verwenden.
Sie haben jedoch vielleicht den Punkt, dass das Projizieren auf eine Basis Ihnen etwas Nützliches gibt. Meine Intuition ist, dass es Ihnen nicht wirklich mehr gibt als die Algebra, da die Form der Ortsraum- (sagen wir) Wellenfunktionen letztendlich von den algebraischen Beziehungen zwischen dem Ortsoperator und dem Hamilton-Operator abhängt. Der Weg zur Positionsbasis ist jedoch möglicherweise der schnellste Weg, dies zu tun.

Antworten (2)

Abrufen H ^ = ( N ^ + 1 2 ) Und [ A ^ , A ^ † ] = 1 (fallen lassen ℏ Und ω ).

  1. Nehmen Sie den Grundzustand an | 0 ⟩ ist nicht entartet. Sie können dies durch Lösen beweisen ⟨ X | A ^ | 0 ⟩ = 0 in der Positionsdarstellung, aber ich weiß nicht, wie man es algebraisch macht. Der Rest des Beweises ist algebraisch.

  2. Der erste angeregte Zustand sei k -fach entartet: | 1 ich ⟩ , ich = 1 , … , k , Wo | 1 ich ⟩ orthonormal. Dann haben wir nach der Algebra

    A ^ | 1 ich ⟩ = | 0 ⟩
    Und
    A ^ † | 0 ⟩ = ∑ ich C ich | 1 ich ⟩
    Wo ∑ ich C ich ⋆ C ich = 1 .

  3. Nun, damit diese Zustände Eigenzustände von sind H ^ mit Energie 3 2 sie müssen Eigenwerte von sein N ^ mit Eigenwert 1. Dies erfordert

N ^ | 1 ich ⟩ = A ^ † A ^ | 1 ich ⟩ = A ^ † | 0 ⟩ | 1 ich ⟩ = ∑ J C J | 1 J ⟩

Das muss für alle gelten ich , was zu einem sofortigen Widerspruch führt (keine Lösung für die C ich ) es sei denn k = 1 .

Induktion beweist Nichtentartung für die höheren Zustände.

Ich verwende hier nicht nur Operatoralgebra, daher wissen Sie wahrscheinlich bereits Folgendes, aber nur für den Fall, dass es hilft:

  1. Eigenzustände des Zahlenoperators sind Eigenzustände des Hamiltonoperators, da H ^ = ℏ ω ( N ^ + 1 2 ) .
  2. Gebundene Zustände in einer Dimension sind nicht entartet (siehe zB http://arxiv.org/abs/0706.1135 für Bedingungen). Der Beweis, der in diesem Link gegeben wird, hängt davon ab, zwei gebundene Zustände mit derselben Energie zu wählen und die Schrödinger-Gleichung zu verwenden, um leicht zu zeigen, dass die Wronskische W = ψ 2 ψ 1 ' − ψ 1 ψ 2 ' ist konstant. Durch Auswerten W bei ∞ , muss die Konstante Null sein (mit Bedingungen), sodass die Zustände proportional und damit nach der Normierung gleich sein müssen.
Nichtentartung der Eigenwerte des Zahlenoperators für einfachen harmonischen Oszillator [Duplikat]
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