Strenger Beweis der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung

Ja, sie lässt sich präzisieren und entspricht der führenden Ordnung der semiklassischen Entwicklung (WKB-Näherung) in$\hbar$. Siehe Faddeev-Yakubovskys „Vorlesungen zur Quantenmechanik für Mathematikstudenten“ (§20, Formel (13)). Ein von der geometrischen Quantisierung inspirierter Ansatz wird in Kapitel 4 von Bates-Weinsteins Lectures on the Geometry of Quantization erläutert .

Diese Antwort befasst sich mit dem geometrischen Ursprung der Bohr-Sommerfeld-Bedingung. Bei der geometrischen Quantisierung ist die zusätzliche Struktur, die über die symplektischen Daten des Phasenraums hinaus erforderlich ist, eine Polarisation. Die Quantisierungsräume sind als Räume polarisierter Abschnitte bezüglich einer Polarisation aufgebaut. Die "offensichtlichste" Art einer Polarisation ist die Kahler-Polarisation, bei der die Quantisierungsräume Räume von holomorphen Abschnitten eines Prä-Quanten-Linienbündels sind. Einfache Beispiele für Systeme, die mittels einer Kahler-Polarisation quantisiert werden können, sind der harmonische Oszillator und der Spin. Eine andere Art der Polarisierung ist die reale Polarisierung (siehe z. B. Blaus Vorlesungen), was lokal der Polarisation eines Kotangensbündels entspricht. Eine echte Polarisation vereitelt den Phasenraum (symplektische Mannigfaltigkeit) in Lagrange-Untermannigfaltigkeiten. Wenn die Blätter kompakt sind, besteht der Quanten-Hilbert-Raum aus Abschnitten mit Unterstützung nur auf bestimmten Blättern, die genau diejenigen sind, die die Bohr-Sommerfeld-Bedingung erfüllen. In diesem Fall wird der Quantenphasenraum durch Verteilungsabschnitte erzeugt, die ausschließlich auf den Bohr-Sommerfeld-Blättern getragen werden (Dieses Ergebnis ist auf Snyatycki zurückzuführen). Zum Beispiel im Fall des Spins sind die Bohr-Sommerfeld-Blätter kleine Kreise bei halbzahligen Werten von$z$Koordinate in der zweidimensionalen Sphäre. Ein anspruchsvolleres Beispiel für Bohr-Sommerfeld-Blätter ist das Gelfand-Cetlin-System auf Fahnenverteilern.

Viele klassische Phasen lassen sowohl Kahler als auch echte Polarisierungen zu. Es ist interessant, dass in vielen Fällen die Quantisierungs-Hilbert-Räume einheitlich äquivalent sind (dh die Quantisierung ist polarisierungsunabhängig). Bitte sehen Sie sich zum Beispiel die Ausstellung von Nohara an .

Entgegen der landläufigen Meinung wird eine semiklassische Annäherung durch zwei verschiedene Reihen erreicht: Die eine ist die WKB-Reihe und die andere die Wigner-Kirkwood-Reihe, wobei letztere eine Gradientenerweiterung ist. In beiden Fällen werden Eigenwerte durch die Bohr-Sommerfeld-Regel erhalten, jedoch nur in führender Ordnung. Ich habe dies hier bewiesen (dieses Papier erschien in Proceedings of Royal Society A). Dieser Beweis ist rigoros und ganz anders als das, was man in Standard-Lehrbüchern findet. Außerdem erzeugt es die vollständige Reihe für die exakten Eigenwerte mit der gewöhnlichen Bohr-Sommerfeld-Regel in führender Ordnung.

Hier ist eine sehr einfache Möglichkeit, dies leicht zu sehen:

Dies ist Aktion, suchen Sie nach "Abgekürzte Aktion" und es hat die SI-Einheit Joule-Sekunde. Dies ist die Gleichung, die Planck (und später Einstein) verwendet hat:

Das bedeutet, dass die Plancksche Konstante auch eine Einheit von Joule-Sekunde hat, daher können Sie sie interpretieren$nh$als Aktion des Systems (seit$n$ist dimensionslos, behält die Einheit bei und wird nur verwendet, um die "richtige" Antwort zu geben, da nicht jedes mechanische System dies hat$h$als Aktion,$n$sollte benutzt werden).

So

vielleicht lässt sie sich aus der Näherung über die Zustandsdichte ableiten

mit$H= P^{2}/2m +V(x)$ist der Hamiltonoperator des Teilchens und$\theta (x)$ist die Heavyside-Step-Funktion