Ich habe den Beitrag von David Bar Moshe ( unten ) gerade als "Antwort" bewertet, für die Anerkennung und Dank ausgesprochen werden.
Nichtsdestotrotz gibt es noch mehr zu sagen, und in der Hoffnung, weitere Posts anzuregen, habe ich zusätzliches Hintergrundmaterial hinzugefügt. Insbesondere stellt sich heraus, dass ein Artikel von Bloch, Golse, Paul und Uribe aus dem Jahr 2003 „ Dispersionslose Toda- und Toeplitz-Operatoren “ Konstruktionen enthält, die einige (aber nicht alle) der Quantisierungstechniken veranschaulichen, die gemäß der hinzugefügten Diskussion unten gefordert werden.
Die gestellte Frage lautet:
Wie quantisiert man die Bloch-Gleichungen geometrisch?
Aus geometrischer Sicht ist die Bloch-Kugel die einfachste (klassische) symplektische Mannigfaltigkeit und die Bloch-Gleichungen für dipolgekoppelte Spins spezifizieren die einfachste (klassische) nichttriviale Hamilton-Dynamik.
Beim Erlernen moderner Methoden der geometrischen Quantisierung – wie beispielsweise abstrakt im Wikipedia- Artikel Geometric Quantization beschrieben – wäre es (für einen Nicht-Experten wie mich) sehr hilfreich, die Quanten-Hamilton-Gleichungen für wechselwirkende Spins zu sehen, die von den klassischen Hamilton-Gleichungen abgeleitet sind.
Bisherige Stichwortsuchen auf dem Arxiv-Server und bei Google Books haben keine solche Ausstellung gefunden. Bedeutet das, dass es ein Hindernis gibt, die Bloch-Gleichungen geometrisch zu quantisieren? Wenn ja, was ist es? Alternativ kann jemand auf eine Tutorial-Referenz verweisen?
Je detaillierter und je elementarer die Darstellung, desto besser! :)
In der Quantensystemtechnik ist es natürlich, die Quanten-Hamilton-Dynamik auf Zustandsräume von Tensornetzwerken mit niedrigerer und niedrigerer Dimension zurückzuziehen (technisch gesehen sind diese Zustandsräume eine Schichtung von Sekantenvarietäten von Segre-Varietäten ).
Es sollte auch anerkannt werden, dass in diesem Zusammenhang „Quanten-Hamilton-Dynamik“ stochastische Enträtselungen von Lindbladian-Mess- und -Steuerungsprozessen umfasst (gemäß diesen Online-Notizen von Carlton Caves ). Die Darstellung der entwirrten Trajektorien in Stratonivich-Form ermöglicht es, die offene Quantendynamik allgemeiner Lindblad-Prozesse mit der gleichen geometrischen Natürlichkeit wie die geschlossene Quantendynamik von Hamilton-Potentialen und symplektischen Formen zurückzuziehen. Dieses Lindblasche Pullback-Idiom fehlt in mathematischen Diskussionen der geometrischen Quantisierung, z. B. in dem oben erwähnten Artikel Bloch et al. . Im Wesentlichen verwenden wir Ingenieure diese Pullback-Techniken mit gutem Erfolg, ohne ein vollständiges oder sogar geometrisch natürliches Verständnis davon zu haben.
Wenn wir uns durch aufeinanderfolgende Zustandsräume von immer kleinerer Dimension zurückziehen, gelangen wir (wenig überraschend) zu einem innersten Zustandsraum, der ein Tensorprodukt von Bloch-Sphären ist, das seine (klassische) symplektische Struktur vom Hilbert-Ausgangsraum erbt. Darüber hinaus ziehen sich die Lindblad-Prozesse (ebenfalls nicht überraschend) zu klassischem Rauschen und Rückwirkung zurück, die die Standardquantengrenze respektieren.
Aus multiplen systemtechnischen Gründen möchten wir diese Schichtung rückwärts und vorwärts im folgenden geometrisch wörtlichen Sinne verstehen: Auf jedem Zustandsraum dieser Schichtung wünschen wir die doppelte Option, die Dynamik entweder auf einen klassischeren Zustand zurückzuziehen -Raum, oder die Dynamik auf einen mehr quantenmechanischen Zustandsraum vorschieben.
Die erhoffte Beschreibung der geometrischen (De/Re)Quantisierung wird diese Dualität soweit möglich in beide Richtungen beleuchten. Unnötig zu sagen, je einfacher und geometrisch/informatisch natürlicher die Beschreibung dieser Dualität ist, desto besser (anerkennend, dass diese Natürlichkeit viel zu hoffen ist). :)
Ich habe eine Antwort auf Mathoverflow geschrieben, in der explizite Formeln für die klassischen und Quanten-Hamiltonianer eines Spinsystems (Generators of wurden explizit geschrieben. Die klassischen Hamiltonoperatoren sind durch Funktionen auf den beiden Kugeln und die Quanten-Hamiltonoperatoren durch holomorphe Differentialoperatoren (die auf die Abschnitte des Quantenlinienbündels wirken) gegeben. Für viele Spinsysteme mit einem linearen Hamilton-Operator in jedem Spin hat man nur einen eindeutigen Ein-Teilchen-Hamilton-Operator pro Spin. Tut mir leid, dass ich mich auf meine eigene Arbeit beziehe, aber es ist keineswegs originell.
Qubyte