Geometrische Quantisierung identischer Teilchen

Oft statt$\mathbf{R}^{3n}/S_n$, möchten Sie vielleicht die Singularität auflösen. Lassen Sie mich ein Spielzeugmodell erklären, bei dem diese Auflösung natürlich erscheint.

In Betracht ziehen$n$identische Teilchen auf$\mathbf{C}$mit dem Konfigurationsraum$M^n=(\mathbf{C}^n-\Delta)/S_n$. Sie können sich diesen Raum als den Raum der ungeordneten Eigenwerte von vorstellen$n\times n$Matrizen vorbei$\mathbf{C}$, dh$M^n=Mat_n(\mathbf{C})^{diag}/GL_n(\mathbf{C})$, wo$Mat_n(\mathbf{C})^{diag}$ist der Raum von diagonalisierbaren Matrizen mit unterschiedlichen Eigenwerten und$GL_n(\mathbf{C})$wirkt durch Konjugation.

Ein heuristisches Argument (das präzise ist, wenn die Aktion von$G$ist schön) zeigt das$T^*(M/G)\cong T^*M//G$, wo$//$ist die Hamiltonsche Reduktion. In meinem Fall gibt es eine bekannte Verdichtung von$T^*M^n$wird Calogero-Moser-Raum genannt$C_n$erhalten durch die Hamiltonsche Reduktion von$T^* Mat_n(\mathbf{C})$entlang einer Umlaufbahn.

Kotangensbündel haben natürliche Quantisierungen (Funktionen werden durch Differentialoperatoren auf der Basis ersetzt und der Hilbert-Raum ist gerecht$L^2$Funktionen auf der Basis) und die Quantisierung des Calogero-Moser-Raums$C_n$wird durch ein Verfahren namens Quanten-Hamilton-Reduktion aus der Quantisierung von erhalten$T^*Mat_n(\mathbf{C})$.

Als Referenz siehe Etingofs Vorlesungen http://arxiv.org/abs/math/0606233v4 . Siehe insbesondere Satz 2.6. Beachten Sie, dass er präziser ist als ich und so die Aktion durchzieht$PGL_n(\mathbf{C})$da es kein Zentrum hat.

Eine solche Quantisierung erzeugt die gleichen Ergebnisse wie eine Quantisierung mit entferntem Koinzidenzsatz. Hier ist der Grund. Betrachten Sie die kanonische Methode zur Durchführung der geometrischen Quantisierung von$T^*M$, nämlich:

• Linienbündel ist trivial
• Die Verbindung wird durch die kanonische 1-Form gegeben$p\ dx$in physikalischer Notation
• Die Lagrange-Foliation hat Fasern von$T^*M$für Blätter

Daraus ergibt sich die Quantenmechanik im Positionsbild

Jetzt nimm$X = T^*M^n / S_n$der Mehrteilchen-Orbifold-Phasenraum sein. Leitungsbündel an$X$sind nur$S_n$-äquivariante Linienbündel an$T^*M^n$. Daher können wir dasselbe Linienbündel mit der Wirkung von S_n entweder trivial oder multipliziert mit dem Vorzeichen der Permutation nehmen. Alle anderen Strukturen sind S_n-invariant und steigen daher auf ab$X$. Offensichtlich sind das Ergebnis entweder Bosonen oder Fermionen, je nach gewähltem Linienbündel (Darstellung von$S_n$)

BEARBEITEN: Es scheint, dass es kein Analogon zu diesem Ergebnis für Anyonic-Statistiken mit dim M = 2 gibt. Dies liegt daran, dass für dim M = 2 der Phasenraum unterscheidbarer Hardcore-Partikel (Einfall entfernt) bereits eine nicht triviale Grundgruppe hat.