Grund für die in der Quantenmechanik auftretende Diskretion?

Wenn ich nur ein einziges Wort verwenden dürfte, um eine allzu vereinfachte intuitive Begründung für die Diskretion in der Quantenmechanik zu geben, würde ich das Wort „ Kompaktheit “ wählen. Beispiele:

1. Die endliche Anzahl von Zuständen in einem kompakten Bereich des Phasenraums. Siehe zB this & this Phys.SE posts.

2. Das diskrete Spektrum für Lie-Algebra-Generatoren einer kompakten Lie-Gruppe, zB Drehimpulsoperatoren. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

3. Andererseits der Positionsraum$\mathbb{R}^3$in der elementaren nichtrelativistischen Quantenmechanik ist nicht kompakt, in Übereinstimmung damit, dass wir das Punktteilchen im Prinzip in jeder stetigen Position finden können$\vec{r}\in\mathbb{R}^3$. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

In der Quantentheorie gibt es mehrere Formen der Diskretion. Die einfachste ist die Diskretheit von Eigenwerten und den zugehörigen zählbaren Eigenzuständen. Diese entstehen ähnlich wie die diskreten stehenden Wellen auf einer Gitarrensaite. Die Randbedingungen lassen nur bestimmte stehende Wellen zu, die gut in den erzwungenen Bereich im Raum passen. Obwohl die Saite ein kontinuierliches Objekt ist, wird ihr Spektrum diskontinuierlich und wird natürlich mit natürlichen Zahlen gekennzeichnet. Genau das gleiche passiert in unbeschränkten (von oben) Quantenpotentialen wie dem unendlichen Brunnen oder dem harmonischen Oszillator, wo Sie auch diskrete stehende Quantenwellen erhalten. (Andere Potentiale können gleichzeitig sowohl diskrete als auch kontinuierliche Eigenwerte erzeugen)

Ein weiterer Grund für Diskretion ergibt sich aus Mehrteilchensystemen. Die Quantentheorie erfordert, dass ein in Raumzeit realisiertes System eine einheitliche Darstellung der Symmetriegruppe der Raumzeit, der Lorentzgruppe, enthält. Tatsächlich kann man in der Quantentheorie ein Teilchen als Subsystem definieren, das eine solche Gruppendarstellung enthält. Und weil Sie keinen nicht ganzzahligen Bruchteil einer einheitlichen Gruppendarstellung haben können, müssen Sie eine ganzzahlige Anzahl davon in Ihrem Gesamtsystem haben. Die Anzahl der Teilchen ist also auch ein (erwartetes) diskretes Merkmal, und es spielt eine Rolle, wenn man beispielsweise von einzelnen Photonen spricht, die entweder vollständig oder gar nicht absorbiert werden.

Und schließlich gibt es eine Form der Diskretion, die mit der Quantenmessung einhergeht. Das Messpostulat besagt, dass das Ergebnis einer Messung ein Eigenwert eines hermiteschen Operators ist, der als Observable bezeichnet wird. Nun hängt die Existenz diskreter Spektren für diese Operatoren mit meinem ersten Punkt (Randbedingungen) zusammen, aber dieser geht tiefer. Während die Existenz eines diskreten Spektrums der Energien eines Systems durch Superposition noch alle kontinuierlichen Energiewerte zulässt, ergibt das Messergebnis genau ein (oftmals diskretes) Ergebnis. Dies ist zum Beispiel für die Diskretion der Strahlen im Stern-Gerlach-Experiment verantwortlich. Warum die Quantenmessung so funktioniert, ist im Grunde auch heute noch eine offene Frage. Es gibt einige Ansätze, sie zu beantworten, aber es gibt keine allgemein anerkannte Antwort, die alle Aspekte überzeugend erklären würde.

Wenn Sie möchten, können Sie zu Plancks Ableitung des Energiespektrums des schwarzen Körpers, auch bekannt als Plancks Gesetz , sowie zu Einsteins Verwendung von Plancks Arbeit in seiner Erklärung des photoelektrischen Effekts (der ihm den Nobelpreis einbrachte) zurückgehen, um dies zu tun verstehen Sie zunächst einige der experimentellen Motivation. Um jedoch die Wurzeln der Quantenmechanik in der Atomphysik zu verstehen, muss man auf das Wasserstoffmodell von Bohr und Rutherford zurückgehen. Eine Einführung in die Quantenphysik von French und Taylor diskutiert das Bohr-Rutherford-Modell des Wasserstoffatoms auf Seite 24. Dieses Modell wurde um 1913 eingeführt und Bohr lieferte zwei Schlüsselpostulate:

1. Ein Atom hat eine Reihe möglicher "stationärer Zustände". In jedem dieser Zustände führen die Elektronen Orbitalbewegungen gemäß der Newtonschen Mechanik aus, strahlen aber (im Gegensatz zu den Vorhersagen des klassischen Elektromagnetismus) nicht, solange sie auf festen Bahnen bleiben.

2. Wenn das Atom von einem stationären Zustand in einen anderen übergeht, was einer Änderung der Umlaufbahn (einem "Quantensprung") durch eines der Elektronen im Atom entspricht, wird Strahlung in Form eines Photons emittiert. Die Photonenenergie ist einfach die Energiedifferenz zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand des Atoms. Die klassische Frequenz$\nu$hängt mit dieser Energie durch die Planck-Einstein-Beziehung zusammen:

Welches in Bohrs Abhandlung über die Konstitution von Atomen und Molekülen beschrieben wurde . Diese Postulate sind in modernen Vorstellungen von Elektronenbewegung etwas veraltet, da wir die Dinge jetzt besser in Bezug auf die Schrödinger-Gleichung verstehen , die ein äußerst genaues Modell des Wasserstoffatoms ermöglicht . Eines der von Bohr eingeführten Schlüsselkonzepte ist jedoch das Korrespondenzprinzip , das laut French und Taylor:

... erfordert, dass klassische und Quantenvorhersagen im Grenzwert großer Quantenzahlen übereinstimmen ...

Dies ist ein wichtiger Bestandteil der modernen Physik und wird am besten in Bezug auf die asymptotische Analyse verstanden . Die meisten modernen Theorien verbinden sich mit real beobachteten Phänomenen an der großen N-Grenze der Theorie.

Zugegeben, dies sind die praktischen Ursprünge, warum wir die Quantenmechanik haben, was den Grund angeht, warum die Natur diese Dinge gewählt hat, könnte die Antwort sehr anthropisch sein. Ohne sie würden wir einfach nicht existieren. Dirac dachte häufig über die Frage nach, warum, und hier war seine Antwort im Jahr 1963 :

Es scheint eines der grundlegenden Merkmale der Natur zu sein, dass grundlegende physikalische Gesetze in Begriffen einer mathematischen Theorie von großer Schönheit und Kraft beschrieben werden, die ein ziemlich hohes Maß an Mathematik erfordert, um sie zu verstehen. Sie fragen sich vielleicht: Warum ist die Natur nach diesen Prinzipien konstruiert? Man kann nur antworten, dass unser gegenwärtiges Wissen zu zeigen scheint, dass die Natur so konstruiert ist. Wir müssen es einfach akzeptieren. Man könnte die Situation vielleicht so beschreiben, dass Gott ein Mathematiker von sehr hohem Rang ist und bei der Konstruktion des Universums sehr fortgeschrittene Mathematik verwendet hat.

Trotz mehrerer moderner Versuche, die eher metaphysischen Aspekte davon anzugreifen und ihnen Strenge zu geben, gibt es immer noch keine wirklich gute Antwort ... wie Feynman oder Mermin sagten:

Halt die Klappe und rechne!

In einem mathematischeren Sinne ergibt sich die Diskretion einfach aus der Mathematik. Zum Beispiel: Die Schrödinger-Gleichung ist ein klassisches Sturm-Liouville-Problem in ODE. https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm –Liouville_theory

Das heißt, wir erhalten Eigenfunktionen (unsere Eigenzustände in QM) und Eigenwerte, die diesen Eigenfunktionen (unseren Energieniveaus) entsprechen. Der Hamilton-Operator in der Schrödinger-Gleichung wäre unser selbstadjungierter SL-Operator.

Eine sehr interessante Frage, in der Tat!

Ende des 19. Jahrhunderts hatte die Physik eine gewöhnliche Krise – die klassische Physik sagte damals voraus, dass die Intensität der von schwarzen Körpern emittierten Strahlung mit zunehmender Wellenfrequenz monoton zunehmen muss. Dies ist aus einem Diagramm ersichtlich (schwarze Kurve, 5000K):

Erstens kann durch Summieren aller Energien, die der schwarze Körper von allen Frequenzen weg ausstrahlt, gezeigt werden, dass er sich der Unendlichkeit nähern muss. Somit würde der schwarze Körper fast sofort seine gesamte Energie abstrahlen und auf den absoluten Nullpunkt abkühlen. Dies ist als „ Ultraviolett-Katastrophe “ bekannt. Aber in der Praxis war es nicht der Fall. Ein schwarzer Körper strahlte damals wirklich nach unbekanntem Gesetz (blaue Kurve, 5000K).

Im Jahr 1900 ging Max Plank von damals seltsamen Annahmen aus, dass Energie diskret aufgenommen oder abgegeben wird - durch Energiequanten ($E=h\nu$) - war in der Lage, das richtige Intensitäts-Spektralverteilungsgesetz abzuleiten und die UV-Katastrophe zu lösen:

Albert Einstein hat 1905 die Physik erneut geflickt und gezeigt, dass Planks Quanten nicht nur ein leeres theoretisches Konstrukt sind, sondern echte physikalische Teilchen, die wir heute Photonen nennen.

Die Diskretion der Quantenmechanik ist aus den experimentellen Beweisen ersichtlich. Jedes Experiment, zum Beispiel der Stern Gerlach, wird unter identischen experimentellen Bedingungen probabilistische Antworten liefern. Die Matrixstruktur der Quantenmechanik erlaubt es uns, nur Wahrscheinlichkeitsamplituden von Prozessen zu berechnen.