Gibt es einen Grund, warum die Teilmenge unseres Hilbert-Raums, die einem Teilchen entspricht, ein Vektor-Teilraum ist?

Ich denke, Sie können die Aussage verstehen, wenn Sie eine allgemeinere Formulierung eines Quantensystems und Zustände in Bezug auf betrachten$C^*$-Algebren.

Angenommen$C^*$-Algebra (zB die Gruppenalgebra der Poincaré-Gruppe), dann kann man a konstruieren$*$-Repräsentation davon in einem Hilbert-Raum durch die Gelfand-Naimark-Segal-Konstruktion (eigentlich gibt es eine$*$-Isomorphie zwischen beliebigen$C^*$Algebra und eine Algebra beschränkter Operatoren auf einem Hilbert-Raum).

Die Quantenzustände sind definiert als die positiven linearen Funktionale der Norm eins auf der$C^*$-Algebra. Da gibt es auch eine$1-1$Korrespondenz zwischen den nicht entarteten$*$- Darstellungen der$C^*$Gruppenalgebra (einer lokal kompakten Gruppe) und die stark stetigen unitären Darstellungen der Gruppe selbst, sehen Sie, dass die linearen Funktionale der$C^*$Die Poincaré-Algebra entspricht den Zuständen jeder irreduziblen Darstellung der Poincaré-Gruppe.

Die Struktur des Zustandsraums wird von der Struktur des Zustandsraums geerbt$C^*$-Algebra, da es sich um eine Teilmenge des topologischen Duals handelt (Sie können viele Topologien darauf betrachten, und es ist eine konvexe Menge). Insbesondere ist die Struktur des Vektorraums natürlich definiert, aber nur die konvexe Summe zweier Zustände ist wieder ein Zustand, wegen der Norm-Eins-Bedingung.

Ich denke, dass Wigners kinematische Definition von Teilchen stark von den Ergebnissen der Darstellungstheorie der speziellen Poincaré-Gruppe inspiriert ist$P=SL(2,\mathbb C)\ltimes\mathbb R^4$. Es stellt sich heraus, dass diese Gruppe vom Typ I ist und daher jede Darstellung von$P$zerlegt sich in eine direkte Summe/Integral irreduzibler Darstellungen. Dies gilt im Allgemeinen für kompakte Gruppen (siehe Satz von Peter-Weyl), versagt jedoch im Allgemeinen für nicht kompakte Gruppen und$P$bekanntermaßen lokal kompakt, nicht-kompakt. Daher kann man die Analyse der Darstellungen einschränken$P$nur auf die irreduziblen. Nach Schurs Lemma enthält das Zentrum solcher Darstellungen nur Vielfache der Identität. Beispiele für solche Operatoren sind die Casimir-Operatoren$p^\mu p_\mu$Und$W_\mu W^\mu$, Wo$p^\mu$ist der 4-Impulsoperator und$W^\mu$ist der Pauli-Lubanski- Pseudovektor. Da sie mit allem in der Darstellung kommutieren und selbstadjungiert sind, gibt es reelle Zahlen$m$Und$j$so dass$p_\mu p^\mu = m^2I$Und$W_\mu W^\mu = j^2I$. Diese beiden Zahlen wurden von Wigner als die Masse eines Teilchens und seinen Spin interpretiert (hier ist die Definition von Teilchen rein kinematisch, in dem Sinne, dass sogar ein Zustand von gebundenen Teilchen, wie ein Atom, als Teilchen betrachtet wird).

Gegeben sei nun eine generische Darstellung der Gruppe$P$auf einem Hilbert-Raum$H$, man hat eine Zerlegung von$H$in invariante Unterräume (weil$P$ist vom Typ I), die paarweise indiziert werden kann$(m,j)$und eine mögliche Vielheit, und es scheint ganz natürlich, jeden dieser Unterräume als solche zu interpretieren, die Zuständen von Teilchen mit Masse zugeordnet sind$m$und drehen$j$.