Welche Rolle spielt in der topostheoretischen Interpretation der Physik von Isham & Doering die intuitionistische Logik?

Angenommen$C^\ast$-Algebra$A$, sein „ Bohr-Topos “ (siehe dort für eine Übersicht) ist der Prägarben-Topos auf seinen kommutativen Unteralgebren. Die Idee hier ist, dass, wenn wir daran denken$A$als Algebra der Quantenoperatoren eines quantenmechanischen Systems (zum Beispiel alle beschränkten Operatoren auf dem Hilbert-Zustandsraum eines Systems), dann entsprechen die kommutativen Unteralgebren klassisch simultanen Observablen, und eine Prägarbe auf diese ist alles, was " durch all solche "klassischen Kontexte" sondiert". Da Niels Bohr in seinen informellen Schriften die Idee propagierte, dass die Quantenmechanik, was auch immer sie ist, durch klassische Beobachtungen kommunizierbar sein sollte, wurde argumentiert, dass dies Bohrs Sicht auf die Quantenphysik formalisieren würde.

Auf jeden Fall sind die Typen in der inneren Logik des Bohr-Topos, also die Objekte des Bohr-Topos, alle "an klassischen Kontexten prüfbare Beobachtungen".

Das Hauptergebnis dieser Konstruktion kann wie folgt zusammengefasst werden: Eine klassische Observable innerhalb des Bohr-Topos ist äquivalent eine Quantenobservable on$A$, im Sinne einer Operatoralgebra formulierten QM. Einzelheiten finden Sie unter Kinematik eines Bohr-Topos . Dies mag sich wie ein zufriedenstellender Zustand anfühlen. Wozu das noch führen soll, ist allerdings noch nicht ganz klar.

Man sollte sich davor hüten, zu übertreiben, was Bohrs Ziele erreichen. Ob sie als „Grundlage der Physik“ dienen, müsste sich noch zeigen. Bisher dienen sie lediglich der Formalisierung von Zustandsräumen quantenmechanischer Systeme. Tatsächlich sind sie eine Möglichkeit, Hilbert-Räume so zu betrachten, dass der Begriff der Quantenobservablen natürlicher zu dem der klassischen Observablen passt.

Schon die Dynamik (z. B. Hamiltonianer) wird von Bohrs Toposen als solche nicht erfasst. Mein Student Joost Nuiten zeigte, wie man die lokalen Netze von Observablen der algebraischen QFT in Form von Garben von Bohr-Toposen auf der Raumzeit formulieren kann. Siehe Bachelorarbeit von Nuiten . Sein Hauptergebnis ist, dass die kausale Lokalität der Quantenfeldtheorie einer natürlichen Abstammungseigenschaft der Sammlung von Bohr-Toposen entspricht, die jeder offenen Teilmenge der Raumzeit zugeordnet sind.

Dies bezieht die quantenfeldtheoretische Dynamik in die Theorie der Bohr-Toposen ein. Aber auch hier ist derzeit nicht ganz klar, wohin das führen wird. Obwohl ich das interessant finde, ist es weit davon entfernt, eine Grundlage für die gesamte Physik zu sein. Es kann jedoch als topos-theoretische Formulierung von AQFT angesehen werden. So schön es ist, ob AQFT überhaupt eine Grundlage der gesamten Lorentzschen Quantenfeldtheorie ist, ist umstritten.

Wenn man wirklich Grundlagen der Physik sehen will, muss man etwas tiefer graben, würde ich sagen. Einen ziemlich detaillierten Vorschlag, wie man dabei vorgehen könnte, habe ich bei Synthetic Quantum Field Theory und in den von dort verlinkten Artikeln beschrieben.

Joost Nuiten verteidigt übrigens gerade heute seine Masterarbeit zu diesem umfassenderen Thema. Siehe bei der Masterarbeit Nuiten seine Arbeit "Cohomological quantization of local prequantum Boundary Field Theory". Darüber habe ich vor zwei Tagen beim "Geometry and Physics XI"-Workshop in Pittsburgh einen Vortrag gehalten, siehe Motivic quantization of local prequantum field theory .

Dies beschreibt eine Geschichte, in der man in der Unendlichkeits-Topos-Theorie beginnt und darin die gesamte lokale Präquantenfeldtheorie und schließlich ihre motivische Quantisierung zur lokalen Quantenfeldtheorie entdeckt. Der Beispielteil von Nuitens Dissertation zeigt, wie die gewöhnliche Quantenmechanik auf diese Weise reproduziert wird, die Quantisierung von Poisson-Mannigfaltigkeiten, von Poisson-Modell-Topologie-Strings, von Typ-II-Strings und von heterotischen Strings, wobei insbesondere die Wittener Gattungs-Partitionsfunktion der Heterotik reproduziert wird 2D-Sigma-Modell-Feldtheorie. Nicht zuletzt zeigt dies zumindest, dass es eine nicht-triviale echte Physik gibt, die von dieser Formalisierung erfasst wird.

Mit Blick auf das erste Papier in ihrer Reihe, A Topos Foundation for Physics: I. Formal Languages ​​for Physics

Bei einem geschlossenen physikalischen System ist eine Theorie dafür eine typisierte intuitionistische Logik höherer Ordnung$L$, was hat$\Sigma$, der Zustandsraumtyp; Und$R$, der Menge-Wert-Typ; und die höheren Typen sind Observables$A:\Sigma \rightarrow R$. Aussagen über das System sind Untertypen von$\Sigma$die eine Heyting-Algebra bilden und denen Wahrheitswerte über den Wahrheitstyp zugewiesen werden$\Omega$, das ist die Unterobjektkennung.

Dann eine Darstellung von$L$in einem Topos$T$ist eine konkrete physikalische Theorie. Wenn der Topos$T$Ist$Set$, reduziert sich dies auf die klassische realistische Beschreibung, in der sie Aussagen über das System erklären, die von der Booleschen Logik und nicht von der intuitionistischen Logik des Topos behandelt werden.

Sie rechtfertigen die Einführung eines Mengentyps, indem sie die Annahme kritisieren, dass Mengen realwertig sein sollten. Zur intuitionistischen Logik sagen sie in einer Fußnote:

Der Hauptunterschied zwischen Sätzen, die mit Heyting-Logik bewiesen werden, und solchen, die mit Boolescher Logik bewiesen werden, besteht darin, dass bei ersteren keine Beweise durch Widerspruch verwendet werden können. Das bedeutet insbesondere, dass man nicht beweisen kann, dass etwas existiert, indem man argumentiert, dass die Annahme, dass es nicht zu einem Widerspruch führt; stattdessen muss ein konstruktiver Beweis für die Existenz der betreffenden Einheit erbracht werden. Dies schränkt die Theoriebildung der Physik wohl nicht wesentlich ein.

Man könnte argumentieren, dass dies aus physikalischer Sicht intuitionistische Logik ist, genauso wie Physiker schnell und locker mit Kalkül und einschränkenden Argumenten spielen.