Welche Entitäten in der Quantenmechanik sind als „nicht quantisiert“ bekannt?

Wenn Sie bedenken, dass die Antworten auf die von Ihnen verlinkte Frage zum Lesen verfügbar sind, werden Sie feststellen, dass die Position auch quantifizierbar ist, wie die Kristallstruktur eindeutig zeigt.

Die Quantenmechanik hat eine mathematische Formulierung, die inhärent die Quantisierung jeder Variablen ermöglicht, die in die Formulierung eintritt, abhängig von den Randbedingungen, die für die Lösungen der Differentialgleichungen festgelegt sind . Ein freies Teilchen hat Variablen, die jeden Wert annehmen können. „Frei“ bedeutet spezifische Randbedingungen, die zu Kontinua führen.

Die Energiequantisierung im Sinne der Quantenmechanik hängt von den Randbedingungen eines Problems ab. Ein auf einen Kasten beschränktes Teilchen hat eine quantisierte Energie und einen quantisierten Impuls. Ein freies Teilchen kann jede Energie und den entsprechenden Impuls haben.

Es ist die Anforderung, dass die Wellenfunktion den Bedingungen an den Grenzen entspricht, die einige Funktionen ausschließt und andere einschließt. Mit anderen Worten, daher kommt die Energiequantisierung.

Einige Eigenschaften scheinen überhaupt nicht quantisiert zu sein. Zeit ist eins. Andere scheinen immer quantisiert zu sein, zumindest in der nicht-relativistischen Quantenmechanik. Masse ist eine solche Eigenschaft. Jede Masse besteht aus Atomen und Atome haben bestimmte (quantisierte) Massen. Tatsächlich war die Entdeckung der Quantisierung der Masse von Atomen ein großer Fortschritt in der Chemie.

Es gibt tatsächlich einen älteren, aber netten Artikel von Sir Neville Mott, in dem er argumentiert, dass die Quantisierung als Ergebnis von Beschränkungen erfolgt, die durch Randbedingungen ausgedrückt werden.

Daher wird die Energie gebundener Zustände quantisiert, weil man die Wellenfunktionen dazu zwingt$0$im Unendlichen und damit normierbar. Umgekehrt wird die Energie ungebundener Zustände nicht quantisiert, da die Wellenfunktion nicht der vorherigen Randbedingung unterliegt.

In der Tat ist es nicht schwer zu sehen, wenn man mit standardmäßigen numerischen Integratoren spielt, dass das Erhalten einer Lösung der Schrödinger-Gleichung nicht schwierig ist, aber das Erhalten einer Lösung , die die Randbedingungen erfüllt, ist viel schwieriger und kann nur für diskrete Werte der Energie auftreten .

Ein ähnliches Argument kann für die Quantisierung der magnetischen Quantenzahl angeführt werden$m$: Dies folgt aus der Auferlegung, dass Wellenfunktionen Einzelwerte unter einer Drehung um sind$2\pi$. Auch für die Winkelquantenzahl gibt es ein solches Spiel$\ell$.

In der Standard-Quantenmechanik ist die Zeit eigentlich nicht quantisiert. Ebenfalls nicht quantisiert sind alle Parameter, die in den Gleichungen vorkommen, wie zB Masse, Kopplungskonstanten usw. Wechselwirkungen quantisiert man in der Quantenmechanik auch nicht, dafür muss man zur Quantenfeldtheorie gehen.

Die Art und Weise, wie ich den Begriff "quantisiert" verwende, bedeutet, dass Sie klassische Größen als Operator bewerten. Dies bedeutet nicht unbedingt, dass diese Größen ein diskretes Spektrum erhalten, das im Allgemeinen von den Details des betrachteten Systems abhängt.

Lassen Sie mich Ihre Frage etwas umformulieren: Welche hermitischen (messbaren) Operatoren haben Eigenwerte, die jeden kontinuierlichen Wert (ein kontinuierliches Spektrum) annehmen können?

Meine erste Reaktion ist, nach Symmetriegruppen zu suchen, die nicht abgeschlossen sind. Beispielsweise entspricht eine Drehung einer geschlossenen Symmetriegruppe, da eine Drehung um einen beliebigen Winkel einer Drehung um einen Winkel kleiner als entspricht$2\pi$. Translation wäre ein Beispiel für eine nicht abgeschlossene Symmetriegruppe.

Für ein freies Teilchen umfassen Symmerties Position und Zeit, und daher wäre meine Liste die

• Position (einschließlich Winkel)
• Schwung
• der Hamiltonian

Betreiber. Ich schließe aus:

• Zeit, die ein Parameter und kein Operator ist, ist nicht-relativistische Quantenmechanik
• Drehimpuls, da die Rotation kontinuierlich, aber eine geschlossene Symmetrie ist
• Parität, die keine geschlossene Symmetrie ist

Beachten Sie, dass Quasiimpuls, der Impuls in einem Kristall, auch ein kontinuierliches Spektrum (Eigenwerte) hat. Die Symmetriegruppe, diskrete Translationen, ist nicht abgeschlossen, obwohl sie nicht stetig ist.

Natürlich können Sie diese Operatoren kombinieren und neue mit kontinuierlichen Eigenwerten erstellen, die keiner Symmetrie des Systems entsprechen.