Welche grundsätzlichen Gründe sprechen für Quantisierung?

1) "Wenn sich eine Quantenwellenfunktion in einem Potentialtopf befindet, was verursacht die Quantisierung? Die Endlichkeit des Topfes oder nur der Term mit ℏ in der Schrödinger-Gleichung?"

Für den endlichen Quantenpotentialtopf sind die diskreten möglichen Werte für$E_n \sim \hbar ^2 v_n$bei dem die$v_n$sind aufgrund der Randbedingungen diskrete Lösungen für nicht-triviale Gleichungen (siehe die Details in der Wikipedia-Referenz oben). Sie können direkt in der Formel sehen, dass sowohl die Schrödinger-Gleichung (also Quantenmechanik u$\hbar$), und die Randbedingungen müssen diskrete Werte haben$E_n$

2) Gibt es eine Analogie zwischen diesen beiden Ansätzen? Beruht die Schrödinger-Gleichung grundsätzlich auf einer Art Randbedingung, die der Planck-Konstante ℏ ihren Wert gibt?

Nein, das liegt nicht an den Randbedingungen.

Grundlage der Quantenmechanik ist, dass Ort und Impuls keine kommutativen Größen mehr sind, sondern lineare Operatoren (unendliche Matrizen), sodass gleichzeitig$[X^i,P_j]= \delta^i_j ~\hbar$.

Nun haben Sie möglicherweise unterschiedliche Darstellungen für diese Operatoren.

In der Schrödinger-Darstellung berücksichtigen wir, dass diese linearen Operatoren auf Vektoren angewendet werden$|\psi(t)\rangle$(Staaten genannt). Die Wahrscheinlichkeitsamplitude$\psi(x,t)$ist die Koordinate des Vektors$|\psi(t)\rangle$in der Grundlage$|x\rangle$. In dieser Darstellung haben Sie$X^i\psi(x,t) = x^i\psi(x,t), P_i\psi(x,t) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i}\psi(x,t)$. Dies erstreckt sich auch auf Energie, mit$E\psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)$. Diese letzte Gleichheit ist kohärent mit der Definition des Impulsoperators, wenn wir uns die de Broglie-Wellen ansehen

3) Man kann ein Analogon der Schrödinger-Gleichung erhalten, wenn der Raum diskret wäre . Lässt sich aus einer solchen Beschreibung von Raum und Zeit die Schrödinger-Gleichung ableiten?

In der Referenz, die Sie gegeben haben, gibt es keinen diskreten Raum und keine diskrete Zeit, die$\psi_i(t)$sind nur die Koordinaten des Vektors$|\psi(t)\rangle$in gewisser Weise$|i\rangle$

Nun, es klingt für mich etwas widersprüchlich, "Gründe implizieren" zu hören.

Außerdem hast du eine sehr komplexe Frage gestellt.

In der Quantenmechanik ergibt sich die Quantisierung aus der Schrödinger-Gleichung, die meines Wissens ein Postulat ist. Es ist kein Potentialschacht erforderlich.

Ja, aber es kam nicht aus heiterem Himmel. Wie die meisten Postulate kam es, nachdem es in einem bestimmten Fall gültig war: Schrödingers Wellen. Die eigentliche große Entdeckung ist die Hypothese von de Broglie. Die Schrödinger-Gleichung ist die Wellengleichung einer Welle mit doppelter Gruppengeschwindigkeit der Phasengeschwindigkeit (+experimentelle Daten für die Konstanten). Das Postulat ist die Verallgemeinerung für jedes Ket.

Wenn sich eine Quantenwellenfunktion in einem Potentialtopf befindet, was bewirkt dann die Quantisierung? Die Endlichkeit des Brunnens oder nur der Term mit ℏℏ in Schrödingers Gleichung?

Infolgedessen verhält sich ein 0-Spin-Teilchen tatsächlich wie ein Wellenpaket in einem Potentialtopf und erzeugt daher stationäre Wellen.

Fassen wir es zusammen, um es klarer zu machen. Obwohl Postulate perfekt funktionieren, behalte ich gerne im Hinterkopf, woher alles kommt. Die großartige Idee war der Welle-Teilchen-Dualismus. Die Schrödinger-Gleichung ist analog zur Wellengleichung jeder Welle, deren Gruppengeschwindigkeit die Hälfte der Phasengeschwindigkeit ist. Der einzige Unterschied ist der Wert der Konstanten.

Diese Konstanten wurden experimentell durch verschiedene Experimente mit außerordentlicher Übereinstimmung gefunden (schwarzer Körper, photoelektrische und Compton-Effekte...).

Das Postulat verallgemeinert dies also nur auf jedes Ket, nicht nur auf das Äquivalent einer 0-Spin-Wellenfunktion.

Ich nehme an, die einfachste Antwort ist, weil das experimentell in der Natur beobachtet wird. Plancksche Konstante,$h$, wurde von Max Planck bei der Untersuchung der Schwarzkörperstrahlung "entdeckt". Damals wurden zwei verschiedene Gleichungen verwendet, um dieses Phänomen vorherzusagen (Raleigh-Jeans und Wien ungefähr). Beide waren für ein bestimmtes Wellenlängenintervall hochgenau und wichen dramatisch von dem ab, was in Experimenten für andere gefunden wurde.$h$war nur eine Konstante, die er benutzte, um die theoretische Kurve an die tatsächlichen Daten anzupassen. Die Beziehung$E=hf$wurde von Einstein eingeführt, um den photoelektrischen Effekt zu erklären. In ähnlicher Weise machte die Wellentheorie des Lichts in diesem Fall Vorhersagen, die nicht mit den experimentellen Beobachtungen übereinstimmten. Indem er annahm, dass Licht auch ein Teilchen sei, aber mit wellenartigen Eigenschaften (Photon genannt), konnte er es erklären. Insbesondere wenn man annimmt, dass ein Elektron, das ein einzelnes Lichtphoton absorbiert, seine Energie um einen Betrag erhöht, der gleich ist$E=hf$, stimmte das vorhergesagte Verhalten des Systems perfekt mit den experimentellen Daten überein. Für einen Potentialtopf ist die Quantisierung mathematisch gesehen ein Ergebnis der sinusförmigen Natur der Schrödinger-Gleichungen und der Randbedingungen. Die Schrödinger-Gleichung hat die gleiche Form wie die allgemeine Wellengleichung. Es gibt eine Welle mit Wellenlänge zurück$\lambda = h/mv$, genannt De-Broglie-Wellenlänge. Beim Zupfen einer Saite sind nur bestimmte Wellenlängen erlaubt. Dies liegt daran, dass die Randbedingungen an den Rändern des Strings erfordern, dass beide Enden stationär sind. Genauso verhält es sich mit einem Potentialtopf. Vereinfacht kann man sich vorstellen, dass das Teilchen zwischen den Wänden eine stehende Welle erzeugt und die Randbedingungen nur bestimmte Wellenlängen zulassen. Jede Wellenlänge entspricht dann einer anderen Energie, was dann bedeutet, dass nur bestimmte Energien erlaubt sind.

Auch Fred, für deine Frage zum Impulsoperator. Dies ist die Begründung. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung hat die Form$\psi = e^{ikx}$

wo$k = 2\pi/ \lambda = 2\pi \bigg/ (h/p) = p \bigg/ (h/2\pi) = p/\hbar$

Wir wollen, dass der Eigenwert des Impulsoperators der Impuls ist. So

$d\psi /dx = d/dx(e^{ikx}) = ike^{ikx} = ik\psi = \frac{ip}{\hbar} \psi$

und daher:

Im Speziellen