1D Infinite Square Box Diskrete Energieniveaus, aber kontinuierliche Impulse?

Im 1d-Teilchen in der Box sollte die Energie des Teilchens vollständig durch den Impuls des Teilchens bestimmt werden, den Sie richtig beobachten? Wie können Sie also gleichzeitig diskrete Energieniveaus und ein kontinuierliches Impulsspektrum haben?

Dieses Potential lässt kein kontinuierliches Impulsspektrum zu.
"Die Energie des Teilchens sollte vollständig durch den Impuls des Teilchens bestimmt werden, den Sie richtig beobachten?" Nur in der klassischen Theorie - Energie ist ( M Ö M e N T u M ) 2 / 2 M . In der Quantentheorie können wir den Impuls des Teilchens nicht so einfach bestimmen – jede Messung wird wahrscheinlich seinen Zustand erheblich verändern. Anstelle des bestimmten Impulswerts verwenden wir die Wellenfunktion ψ . Für alle normalisiert ψ , viele verschiedene Orts- und Impulswerte sind möglich, ψ Bestimmung ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte. Damit ist nicht dieser Impulsoperator gemeint ich ℏ D / D X hat ein kontinuierliches Spektrum.
Sicherlich gibt es eine Momentum-Unsicherheit, die ungefähr gegeben ist durch 2 Δ X / ℏ um ein Momentum mit einem Erwartungswert von Null ?
Der Kommentar von @AlfredCentauri soll eine Antwort sein.

Antworten (2)

Der Impulsoperator P im unendlichen Brunnen kann als selbstadjungierter Operator auf unendlich viele Arten in Bezug auf die Randbedingungen definiert werden durch:

P θ = − ich ℏ D D X D ( P θ ) = { ψ ∈ H 1 [ 0 , A ] : ψ ( A ) = e ich θ ψ ( 0 ) } ,
Wo H 1 [ 0 , A ] ist der Sobolev-Raum auf dem Intervall [ 0 , A ] . In jedem Fall ist das Spektrum rein diskret, was man durch Lösen der Eigenwertgleichung erkennen kann
P θ ψ N = λ θ , N ψ N
Die Gleichung liefert die Eigenwerte
λ θ , N = 2 π ℏ A ( N + θ 2 π ) , N ∈ Z ,
mit Eigenfunktionen
ψ N ( X ) = 1 A exp ⁡ ( ich λ θ , N X ℏ ) ,
was eine Basis für den Hilbertraum darstellt H = L 2 [ 0 , A ] .

Bearbeiten: In Bezug auf die Kommentare führt das Betrachten des unendlichen Brunnens als einschränkendes Verfahren des endlichen Brunnens zu Randbedingungen für den Hamilton-Operator, die gegeben sind durch:

H = − ℏ 2 2 M D 2 D X 2 D ( H ) = { ψ ∈ H 2 [ 0 , A ] : ψ ( 0 ) = ψ ( A ) = 0 } ,
so, obwohl die Aktion von H scheint die Idee zu geben, dass die Impuls-Eigenfunktionen auch Energie-Eigenfunktionen sind, dies ist falsch, weil die Aktion nicht definiert ist, da die Funktionen nicht in sind D ( H ) .

Unter Verwendung von Randbedingungen wie z ψ ( 0 ) = ψ ( A ) = 0 denn der Moimentum-Operator ergibt keinen selbstadjungierten Operator , da der Adjoint P ∗ hat in diesem Fall eine größere Domain D ( P ∗ ) = H 1 [ 0 , A ] . Da Observablen durch selbstadjungierte und nicht nur durch symmetrische Operatoren dargestellt werden müssen , ist diese Randbedingung nicht gültig. Lesen Sie diesen Artikel für eine bessere Diskussion.

OK Cool. Ist Griffiths dann falsch? Die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Impulsraum scheint mir nicht diskret zu sein . physicalpages.com/2012/10/04/… .
In gewisser Weise liegt er falsch. Aufruf der Fourier-Transformation Φ N ( P , T ) der Wellenfunktion ψ N ( X , T ) da stimmt die Impulsdarstellung nicht ganz, denn diese Darstellung gilt nur, wenn der Raum stimmt L 2 ( R ) . Was er tut, ist die Domäne von zu betrachten ψ N ( X , T ) wie die ganze real line, aber nur mit support on [ 0 , A ] .
Was ist dein θ , dürfen θ Null sein?
θ jede reelle Zahl ist, aber natürlich nur im Intervall betrachtet werden kann [ 0 , 2 π ) , Weil e ich θ ist periodisch. Einstellung θ = 0 ist, periodische Randbedingungen anzugeben, da dies implizieren würde ψ ( A ) = ψ ( 0 ) .
In Ihrer Antwort scheinen die Eigenzustände des Impulsoperators auch die Eigenzustände des Hamitonischen zu sein. Es ist seltsam für mich, da diese beiden Operatoren nicht kommutativ sind, sollten sie nicht denselben Satz von Eigenzuständen teilen.
Schreiben Sie Hamiltonian auf diese Weise:
H = P 2 2 M + v θ ( − X ) + v θ ( X − A ) v → + ∞
Da die explizite Abhängigkeit von X im Potenzial, also [ H , P ] ≠ 0 .
@MateusSampaio, was Sie schreiben, ist mathematisch korrekt, aber physikalisch irreführend. In der Physik sind unendliche Potentialtöpfe Grenzen von endlichen. An der Grenze v → ∞ die Schrödinger-Gleichung und die Normierbarkeitsbedingung von ψ führt zur Randbedingung ψ ( 0 ) = 0 , nicht | ψ ( 0 ) | > 0 , also in diesem Grenzwert den Operator ich ℏ D / D X hat keine Eigenfunktionen.
Habe eine Bearbeitung bezüglich der Kommentare vorgenommen.
@MateusSampaio Während Ihre Antwort für mich zu mathematisch ist, denke ich, dass Ihr Punkt "die Aktion ist nicht definiert" ist. Grundsätzlich ist es keine Möglichkeit, die Eigenwertgleichung für beide Operatoren im selben Raum zu lösen.
Es ist wichtig zu beachten, dass diese Unterscheidungen nicht trivial und nicht auf die Quantenphysik beschränkt sind. Eine gute Quelle ist Classicalsymptoms of Quantum Diseases von C. Zhu und JR Klauder.

Im 1d-Teilchen in der Box sollte die Energie des Teilchens vollständig durch den Impuls des Teilchens bestimmt werden, den Sie richtig beobachten?

Der Hamiltonoperator in der Positionsbasis ist

H ^ = { − ℏ 2 2 M ∂ 2 ∂ X 2 , 0 < X < A ∞ , ansonsten

und die Energieeigenfunktionen sind von der Form

ψ N ( X , T ) = 2 A Sünde ⁡ ( N π A X ) [ θ ( X ) − θ ( X − A ) ] e − ich ω N T

die offensichtlich keine Impuls-Eigenfunktionen sind. Also nein, die zitierte Aussage ist nicht richtig.

Wie können Sie also gleichzeitig diskrete Energieniveaus und ein kontinuierliches Impulsspektrum haben?

Dieses Potential lässt kein kontinuierliches Impulsspektrum zu.

Es ist wahr, dass wir das Kontinuierliche finden können ϕ N ( P , T ) und erweitern ψ N ( X , T ) über den Impuls-Eigenfunktionen.

Wenn man sich das jedoch klar vor Augen führt, sind die Energieeigenfunktionen nur auf dem Intervall vollständig [ 0 , A ] . Das heißt, wir können eine Impuls-Eigenfunktion nicht über die Energie-Eigenfunktionen entwickeln.

Anders gesagt, der Betreiber ich ℏ ∂ ∂ X hat keine Eigenfunktionen für dieses Potential.

Anhand der Antworten, die ich dann bekomme, können Sie die Dynamik also nicht messen? Dies würde auf jedes Potential zutreffen, in dem es Bereiche gibt, in denen das Teilchen wie ein freies Teilchen wirkt, aber mit diskreter Energie wie der endliche quadratische Brunnen. Was ich dann nicht verstehe, ist, physikalisch gesehen, wie genau würden Sie dann die Energie des Teilchens messen?
@CrazyDolphin, ich arbeite an einer Ergänzung zu meiner Antwort, die dies an der Grenze des endlichen Potenzials gut betrachten wird. Ich vermute, dass, wenn der Brunnen tiefer wird, die Erwartung der Energie ohne Begrenzung für einen Impuls-Eigenzustand zunimmt.
1D Infinite Square Box Diskrete Energieniveaus, aber kontinuierliche Impulse?
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