Energiegleichung in der Quantenmechanik

1. Die Schrödinger-Gleichung lässt sich nicht aus der klassischen Physik ableiten. Es gibt verschiedene Konsistenzprüfungen und Motivationen , wie z. B. die Konsistenz mit der Energieeinsparung, aber sie wird nicht aus diesen Überlegungen abgeleitet . Dass die Schrödinger-Gleichung Energie erhält, ist jedoch eingebaut , wenn man weiß, dass der Hamilton-Operator da der Energieoperator ist

   $$\partial_t \lvert \psi \rangle = \frac{1}{i\hbar}H\lvert \psi \rangle$$ bedeutet, dass der Zeitentwicklungsoperator ist$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}tH}$, also pendelt der Energieoperator mit dem Evolutionsoperator, also ist es egal, ob ich die Energie vor oder nach der Evolution messe, also bleibt die Energie erhalten.

2. Die Quantenversion der Erhaltungssätze ist etwas subtil, es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie man eine Größe als "erhalten" bezeichnen kann:

   • Im Heisenberg-Bild sind Operatoren zeitabhängig und Erhaltung bedeutet, dass die zeitliche Ableitung des Operators Null ist. Durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung

     $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A = \frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]$$ und die Entsprechung des Quantenkommutators mit der klassischen Poisson-Klammer ¹ in der klassischen Bewegungsgleichung $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A = \{A,H\}$$ zeigt, dass auf diese Weise klassisch erhaltene Größen im Heisenberg-Bild erhalten bleiben.

   • Unabhängig vom Bild könnte man von den Erwartungswerten der Betreiber sprechen. Nach dem Satz von Ehrenfest

     $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle_\psi = \langle\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]\rangle_\psi$$ also wiederum, wenn der Kommutator mit dem Hamiltonoperator verschwindet, dann ist der Erwartungswert zeitlich konstant.

Insgesamt sehen Sie, dass eine Observable erhalten bleibt, wenn sie mit dem Hamiltonoperator pendelt. Da Observablen jedoch für die meisten Zustände keine eindeutigen Werte haben, muss man aufpassen, was genau man meint, wenn man sagt, dass etwas quantenmechanisch erhalten bleibt.

Dies wird in Quantenfeldtheorien subtiler, wo die eigentlichen Aussagen über Erhaltungsgrößen Ward-Takahashi-Identitäten sind .

^{1 Die naive kanonische Quantisierungsvorschrift wird ersetzt$\{,\}$von$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[,]$. Dies kann in einigen Fällen fehlschlagen und Quantenkorrekturen der Ordnung erfordern$\hbar^2$, siehe auch diesen Phys.SE - Beitrag .}

Die Quantenmechanik leitet sich nicht von der klassischen Mechanik oder der Energieerhaltung ab, aber es gibt "Sprungpunkte" in der klassischen Mechanik, die zur Beantwortung Ihrer Frage dienen können.

Wenn Sie die klassische Mechanik auf einem ausreichend fortgeschrittenen Niveau studieren, werden Sie den Hamiltonschen Formalismus entdecken. Der Hamiltonoperator für ein isoliertes System mit nur konservativen Wechselwirkungen ist die Energie und sie ist erhalten. In solchen Systemen ist es eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten (q) und ihrer zeitlichen Ableitungen ($H(q, \frac{dq}{dt})$). Im Hamiltonschen Formalismus gibt es Entitäten, die Poisson-Klammern genannt werden (ich überlasse es Ihnen, ihre Definition nachzuschlagen, aber sie werden so dargestellt [a,b]). Sobald Sie die Poisson-Klammern verstanden haben, können Sie zeigen, dass die Bewegungsgleichungen für Ihr System wie folgt lauten:

Lassen Sie uns nun von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik springen. Die Planck-Hypothese war, dass Energien nicht mehr kontinuierlich, sondern diskret (immer proportional zur Planck-Konstante h) sind. Er war gezwungen, diese Annahme einzuführen, um die Strahlungskurve des schwarzen Körpers abzuleiten. Heisenberg erkannte, dass er den größten Teil des klassischen Formalismus bewahren konnte, wenn er Operatoren für die klassischen Variablen einführte und ihre Poisson-Klammer wie folgt mit dem Operatorkommutator verknüpfte:

Schrödinger erkannte, dass er eine Differentialgleichung für eine sogenannte Wellenfunktion bilden konnte, indem er Heisenbergs Operatoren in die klassische Hamilton-Funktion einsetzte. Es dauerte eine Weile, bis die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion zustande kam und bewies, dass der Schrödinger-Gleichungsansatz vollständig äquivalent zu Heisenbergs Matrizenmechanik war, aber kurz gesagt die Quantenmechanik geboren wurde (Wortspiel beabsichtigt). Damit ich nicht wegen der Geringschätzung von Bohr und der Alten Quantentheorie (OQT) heruntergestimmt werde, sollte ich hinzufügen, dass ich OQT als die Geburt (nicht die Geburt) der Quantentheorie betrachte.

Lass uns die Dinge ein bisschen lustiger machen.

1. Wie können wir die Energieerhaltungsgleichung verwenden, um die Schrödinger-Gleichung in QM abzuleiten?

Nehmen wir an, wir kennen den Hilbert-Raum des Systems$\mathcal H$und wir wissen, wie man einen Hamiltonoperator definiert$H:\mathcal H \rightarrow \mathcal H$dessen Durchschnittswert$\langle \psi | H | \psi\rangle$liefert die durchschnittliche Energie im Zustand$|\psi\rangle \in \mathcal H$.

Wir wollen eine Evolutionsgleichung für$|\psi\rangle$die die folgenden einfachen Bedingungen erfüllt:

• Es spart Energie:

  $$\frac{d}{dt}\langle \psi | H | \psi\rangle = \langle \dot\psi | H| \psi \rangle + \langle \psi | H | \dot\psi \rangle = 0$$

• Es erhält die Wahrscheinlichkeit:

  $$\frac{d}{dt}\langle \psi | \psi\rangle = \langle \dot\psi | \psi \rangle + \langle \psi | \dot\psi \rangle = 0$$

• Es tut das Obige auf nicht triviale Weise, so dass$| \dot \psi \rangle \neq 0$, oder gleichwertig,$\langle \dot \psi | \dot \psi \rangle > 0$. Das können wir in der Tat verlangen$| \dot \psi \rangle$so sein$\langle \dot \psi | \dot \psi \rangle > 0$ist unter den obigen Bedingungen maximal (das Minimum ist langweilig) und fordern daher die folgende Variationsgleichung:

  $$\delta_{\dot\psi^*, \dot\psi} \left[ \langle \dot \psi | \dot \psi \rangle - \lambda \left( \langle \dot\psi | H| \psi \rangle + \langle \psi | H | \dot\psi \rangle \right) - \mu \left( \langle \dot\psi | \psi \rangle + \langle \psi | \dot\psi \rangle \right) \right] = 0$$ Wo$\lambda$,$\mu$sind vorerst reelle Variationsparameter. Beachten wir jedoch, dass Transformationen der Form$|\dot\psi\rangle \rightarrow |\dot\psi\rangle - i\alpha H |\psi\rangle - i\beta |\psi\rangle$, für beliebige reelle$\alpha$,$\beta$, lassen Sie beide Erhaltungsbedingungen unverändert, während Sie die Variationsgleichung zu ändern $$\delta_{\dot\psi, \dot\psi^*} \left[ \langle \dot \psi | \dot \psi \rangle - \lambda \langle \dot\psi | H| \psi \rangle - \lambda^* \langle \psi | H | \dot\psi \rangle - \mu \langle \dot\psi | \psi \rangle - \mu^* \langle \psi | \dot\psi \rangle \right] = 0$$ wo wir ansetzen$\lambda + i \alpha \rightarrow \lambda$,$\mu + i \beta \rightarrow \mu$und ignorierte Begriffe nicht enthalten$\dot\psi$,$\dot\psi^*$da sie nicht zu Variationen beitragen. Die Forderung, dass diese Variationsgleichung auch durch solche Transformationen invariant gelassen wird, sagt uns, dass die richtige Form die obige sein muss, mit$\lambda$,$\mu$komplexe Parameter. Nehmen Sie nun die Variationen auf$\langle \dot\psi |$,$|\dot\psi\rangle$gibt bzw $$|\dot\psi\rangle = \lambda H |\psi\rangle + \mu |\psi\rangle \\ \langle \dot\psi | = \lambda^* \langle \psi | H + \mu^* \langle \psi |$$ Die beiden Erhaltungsbedingungen ergeben dann $$Re\lambda \;\langle \psi | H | \psi\rangle + Re\mu \;\langle \psi | \psi\rangle = 0 \\ Re\lambda \;\langle \psi | H^2 | \psi\rangle + Re\mu \;\langle \psi | H | \psi\rangle = 0$$ und deshalb $$Re\lambda = Re\mu = 0$$ es sei denn$\langle \psi | (\Delta H)^2 | \psi\rangle = 0$. Das verlässt uns $$|\dot\psi\rangle = i\; Im\lambda \;H |\psi\rangle + i\;Im\mu \;|\psi\rangle$$ oder nach dem Aufsaugen$Im\mu$als Phasenfaktor ($|\psi\rangle \rightarrow e^{iIm\mu t}|\psi\rangle$, vorausgesetzt$Im\mu$zeitunabhängig; verwenden Sie andernfalls das Zeitintegral im Exponenten), $$|\dot\psi\rangle = i \;Im\lambda \;H |\psi\rangle$$ Endlich fordert uns die Natur auf, uns zu identifizieren$i\; Im\lambda = \frac{1}{i\hbar}$, und siehe die Schrödinger-Gleichung: $$i\hbar|\dot\psi\rangle = H |\psi\rangle$$
  2. Was ist die Gültigkeit der Energieerhaltungsgleichung in QM?

Sehr gültig in dem Sinne, dass der Durchschnitt wie oben erhalten bleibt. Die Antwort von ACuriousMind deckt die Details im größeren Kontext ab.