Eigenwerte und Eigenfunktionen des Exponentialpotentials V(x)=exp(|x|)V(x)=exp⁡(|x|) V(x)=\exp(|x|)

Die von Ihnen zitierte Arbeit behandelt einen ähnlichen Fall, der zuvor von ST Ma gelöst wurde ( Phys. Rev. 69 Nr. 11-12 (1946), S. 668 ), befasst sich jedoch mit dem Streuproblem am Ende der Exponentialfunktion – daher Die komplexen Energien. Das Folgende ist teilweise von diesem Papier inspiriert, unterscheidet sich jedoch deutlich davon. Der schwierige Teil besteht darin, sich nicht vor den Bessel-Funktionen zu fürchten, aber deshalb haben wir die Theorie der speziellen Funktionen.

Zum einen das exponentielle Potential$e^{|x|}$Sie fragen nach einer geraden Funktion, was bedeutet, dass die entsprechenden Eigenfunktionen auf$(-\infty, \infty)$wird entweder gerade oder ungerade sein. Daher können sie als Eigenfunktionen des einfacheren Potentials behandelt werden$e^x$an$(0,\infty)$, mit Randbedingung$\psi'(0)=0$oder$\psi(0)=0$, beziehungsweise. Da Sie nach letzterer Bedingung fragen, macht es keinen Sinn, den absoluten Wert beizubehalten.

Das Problem ist also das Eigenwertproblem

$$-\frac{d^2}{dx^2}\psi+A e^x \psi=E\psi\text{ under }\psi(0)=0=\psi(\infty).\tag{problem}$$

(Ein Wort zu den Dimensionen: Um die Gleichung auf diese Form zu bringen, mussten wir setzen$\hbar, m$und die Längenskala des Exponentials auf 1, indem entsprechende Zeit-, Masse- und Längeneinheiten verwendet werden. Dies bedeutet, dass es keine Dimensionsfreiheit mehr gibt und der Hamiltonian einen freien Parameter hat,$A$, was sich nicht nur auf die Skala des Spektrums auswirkt (was Sie vielleicht als$A$ist eine Skalierung auf das Potential) sondern auch seine Struktur.)

Amoreet al. behandle dies als Randwertproblem in$\mathbb C$und Verwenden einer Änderung an einer komplexen Variablen. Dies verkompliziert das Problem mehr als wirklich notwendig, und der Einfachheit halber werde ich nur reelle Variablen verwenden, obwohl dies auf Kosten der Behandlung modifizierter Bessel-Funktionen statt Standardfunktionen geht. Der erste Schritt besteht darin, die Variable in zu ändern$z=2\sqrt{A}e^{x/2}$, so dass$Ae^x=z^2/4$und Derivate transformieren als

$$\frac {\partial }{\partial x}=\frac {\partial z}{\partial x}\frac {\partial }{\partial z}=\frac {z }{2}\frac {\partial }{\partial z} \text{ so } \frac {\partial^2 }{\partial x^2} =\frac14\left( z^2\frac {\partial^2 }{\partial z^2}+z\frac {\partial }{\partial z} \right).$$ Die endgültige Gleichung lautet also $$\left[ z^2\frac {\partial^2 }{\partial z^2}+z\frac {\partial }{\partial z}-(z^2+\nu^2) \right]\psi=0 \tag{equation}$$ wo $\nu=i\sqrt{4E}$. (Ja. Eine gewisse Komplexität ist unvermeidlich. Keine Angst, es wird letztendlich keine Rolle spielen.)

Diese Gleichung ist die Besselsche Gleichung in modifizierter Form mit Index$\nu$. Dies ist genau dasselbe wie Bessels Gleichung für normalere Situationen; Der Index ist komplex, aber das ist alles. Zwei linear unabhängige Lösungen sind die modifizierten Bessel-Funktionen erster und zweiter Art,$I_\nu(z)$und$K_\nu(z)$, also die allgemeine Lösung von$(\text{equation})$sieht aus wie

$$\psi(z)=aI_\nu(z)+bK_{\nu}(z).$$ Wir müssen dann nur noch die Randbedingungen aufstellen $\psi|_{z\rightarrow \infty}=\psi|_{z=2\sqrt{A}}=0$:

• Die Bedingung im Unendlichen erfordert, dass wir den Koeffizienten von setzen$I_\nu$auf Null, da die Funktion First Kind immer explodiert . Das hätten wir von Anfang an machen können:$K_\nu$ist per Definition die exponentiell abfallende Lösung, während$I_\nu$wächst exponentiell.

• Der Zustand bei$x=0$dann verlangt das einfach$K_\nu(2\sqrt{A})=0$. In Bezug auf Energien, dann

  $$\boxed{K_{2i\sqrt E}(2\sqrt{A})=0,}$$ und dies ist Ihre Quantisierungsbedingung .

Wie es passiert,$K_\nu(z)$ ist echt für echt$z$und rein imaginär$\nu$. Eine Möglichkeit, dies zu beweisen, ist über diese Integraldarstellung :

$$K_{\nu}(x) =\sec( {\nu\pi}/{2})\int_{0}^{\infty}\cos(x \sinh\nolimits t)\cosh(\nu t)dt,$$ was das Analogon von Bessels erstem Integral für ist $K_\nu$; alternativ folgt es auch aus der Konjugationssymmetrie $$K_{\nu^*}(z^*)=K_\nu(z)^*,$$ was aus der Integraldarstellung folgt, aber eine grundlegendere Eigenschaft der Funktion ist.

Seit$K_\nu$hier reell ist, aus welchen Gründen auch immer, können wir nach seinen Nullstellen fragen. Wie bei allen Bessel-Nullen gibt es für sie keine Chance auf eine elementare Formel, sie lassen sich aber recht einfach mit numerischen Methoden finden (zu Eigenschaften der Nullstellen siehe diese DLMF-Referenz ). Für einen Vorgeschmack sind hier einige Diagramme in logarithmisch-linearer Skala (so dass Nullen als nach unten gerichtete, logarithmische Spitzen erscheinen).$K_{2i\sqrt{E}}(2\sqrt{A})$als Funktion von$E$, für ein paar verschiedene Werte von$A$.

Es gibt zwar nicht allzu viel zu sagen über die Energien daraus, aber es ist klar, dass es unendlich viele davon gibt, dass sie größer sind als$A$, und dass ihr Abstand mit zunehmender Größe zunimmt$A$und$n$(warum?) - aber das ist wirklich alles, was Sie wirklich wissen wollen!

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Nur der Vollständigkeit halber: Die Eigenfunktionen selbst sind dann von der Form

$$\psi_n(x)=C_nK_{2i\sqrt{E_n}}\left( 2\sqrt{A}e^{x/2} \right).$$ Es ist interessant festzustellen, dass die Abhängigkeit in $n$kommt durch den Index statt ein Koeffizient vor $x$. Dies dient teilweise dazu, den sehr strengen Zerfall sicherzustellen $\psi\sim e^{-\exp(x/2)}$, was durch die sehr harte Exponentialwand des Potentials erforderlich ist. Für einige Informationen darüber, wie sich diese Bessel-Funktionen verhalten, versuchen Sie den Unterabschnitt Funktionen der imaginären Ordnung in der DLMF; besonders wichtige Ergebnisse sind Asymptotiken auf $K_{i|\nu|}$im Großen und Ganzen$x$und für den Schwingungsbereich . Letzteres ist $${K}_{{i\nu}}\left(z\right)=-\left(\frac{\pi}{% \nu\mathop{\sinh}\left(\pi\nu\right)}\right)^{{\frac{1}{2}}}% \mathop{\sin}\left(\nu\mathop{\ln}\left(\tfrac{1}{2}% z\right)-\gamma_{\nu}\right)+\mathop{O}\left(z^{2}\right),$$ also ist die Asymptotik für die Wellenfunktion von der Form $\psi(x)\sim\sin\left(\sqrt{E_n}x\right)$, so wie es sein sollte. (Beachten Sie jedoch, dass dies wenig Physik über den Standard hinaus enthält: Die Information über die Variation des Potentials ist in der Änderung der Momentanfrequenz codiert, wie z. B. in diesen Formeln , und würde kräftigere Mathematik erfordern.)