Ganzzahlige Physik

Gibt es interessante (Aspekte von) Problemen in der modernen Physik, die nur durch ganze Zahlen ausgedrückt werden können? Bonuspunkte für die Quantenmechanik.

Verwandtes Papier und Präsentation von David Tong: Physics and the Integers . Sein Argument: "Wenn wir die zukünftigen Gesetze der Physik entwickeln wollen, ist die diskrete Mathematik kein besserer Ausgangspunkt als die Regeln von Scrabble."

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Ja, wobei es darauf ankommt, wie man die Begriffe „Aspekte“ und „ausschließlich“ interpretiert. Nehmen wir zum Beispiel den Hamiltonoperator für den eindimensionalen harmonischen Quantenoszillator . Das Spektrum des Hamiltonoperators (Menge möglicher Energien für den Oszillator) ist

E N = ( N + 1 2 ) ℏ ω , N = 0 , 1 , 2 , …
Das Spektrum ist diskret, und die Eigenwerte können in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit der Menge nicht negativer ganzer Zahlen gebracht werden (auch bekannt als die Menge der Eigenwerte ist zählbar). Tatsächlich gibt es in der Quantenmechanik eine große Klasse von Hamiltonoperatoren mit diskreten Spektren, und für jeden dieser Hamiltonoperatoren gelten die gleichen Bemerkungen über das Spektrum und die ganzen Zahlen.

Wenn Sie Ihre Frage allgemein als Frage zur "Diskretion" in der Physik interpretieren; dann kann man allerlei wirklich wichtige Beispiele nennen. Nehmen Sie zum Beispiel die Gitterfeldtheorie , bei der man versuchen kann, Feldtheorien auf einem Computer zu simulieren.

Ich hatte auf etwas Fortgeschritteneres oder ein aktuelles Forschungsthema gehofft, vielleicht etwas mehr auf die Gitterfeldtheorie eingehen?

Ich würde sagen, dass ein schönes Beispiel dafür der Quanten-Hall-Effekt ist . Hier die Leitfähigkeit σ kommen in ganzzahligen Vielfachen von e 2 / H . In diesem Fall haben die ganzen Zahlen hier einen topologischen Ursprung.

Ich würde sagen, dass der fraktionierte Quanten-Hall-Effekt eine interessantere "ganzzahlige" Physik hat als die ganzzahlige. Außerdem ist das IQHE als Ein-Teilchen-Phänomen sehr gut verstanden. Im FQHE hat man Anyons mit Flecht- und Fusionseigenschaften, topologische Grundzustandsdegenerationen, die durch Muster von Einsen und Nullen beschrieben werden, und so weiter und so fort. Vielleicht gibt es dort mehr "ganzzahlige" Physikbeispiele?
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