Müssen beschränkte Operatoren normierbare Eigenfunktionen und diskrete Eigenwerte haben?

Es gibt keine allgemeine Regel. Es gibt jedoch eine Klasse begrenzter selbstadjungierter Operatoren, deren Spektrum aus einer begrenzten Menge isolierter Punkte (eigentlicher Eigenwerte) besteht - mit Ausnahme von$0$höchstens – und die diesen Eigenwerten zugeordneten Eigenräume sind endlichdimensional. Sie sind die sogenannten kompakten Operatoren (diese Klasse umfasst Klassen von Operatoren, die in QM wichtig sind, wie Hilbert-Schmidt- und Trace -Klassen-Operatoren ). Es gibt jedoch Operatoren, die nicht kompakt sind, sondern ein reines Punktspektrum haben. Ein Beispiel ist der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators, dessen Eigenräume ebenfalls endlichdimensional, aber nicht beschränkt sind. Der Grund, warum das Spektrum die gleichen Eigenschaften wie das von kompakten Operatoren hat, ist, dass inverse Potenzen dieser Operatoren oder der zugehörigen Auflösungsoperatoren beschränkt und kompakt sind.

Umgekehrt ist ein Beispiel für einen beschränkten Operator mit rein kontinuierlichem Spektrum der Positionsoperator in$L^2([0,1], dx)$wie gewohnt definiert

HINWEIS . In Bezug auf Ihren hinzugefügten letzten Punkt (ein Zusammenhang zwischen Normalisierbarkeit von Eigenfunktionen und Diskretion von Eigenwerten) ist die Situation wie folgt.

Wenn$\lambda\in \sigma(A)$ist ein isolierter Punkt des Spektrums ($\sigma(A)$) des selbstadjungierten Operators$A$. Dann$\lambda$ein echter Eigenwert ist und somit ihre Eigenvektoren echte (normalisierbare) Eigenvektoren sind. Wie Sie vermuten, sind "diskrete Eigenwerte" im Fachjargon der Physiker echte Eigenwerte mit normierbaren Eigenvektoren.

Die Umkehrung ist jedoch im Allgemeinen falsch . Sie können Punkte haben$\lambda$in einem kontinuierlichen Teil von$\sigma(A)$(sagen,$\lambda \in (a,b)$mit$(a,b) \in \sigma(A)$), die eigentliche Eigenwerte sind. Sogar in einem nicht separablen Hilbertraum ist es möglich, einen selbstadjungierten Operator zu konstruieren$A$so dass$\sigma(A)=[0,1]$und alle Punkte von$[0,1]$sind echte Eigenwerte mit echten Eigenvektoren . In einem trennbaren Hilbert-Raum ist dies nicht möglich, aber man kann leicht einen Operator konstruieren, dessen Menge echter Eigenwerte dicht ist$[0,1]$.

Vorbemerkungen : Wenn Sie Ihre Beschreibung der Quantenmechanik darauf "beschränken".$L_2$Hilbert-Räumen, alle Ihre Basen sind diskret, sowohl begrenzt als auch unbegrenzt. Sie können Hilbert-Räume jeder Kardinalität haben, aber der in der "Standard" -Quantenmechanik ist es$L_2$, der Raum quadratisch integrierbarer Funktionen, der eine abzählbare Kardinalität hat,$\aleph_0$. In diesem Fall sogar unbeschränkte Lösungen, wie das freie Teilchen in einer Kiste von Länge$l$, wo$l$kann so groß sein, wie Sie möchten, wird zählbar sein.

Möglicherweise mögen Sie die freien Partikel in einer Box aus verschiedenen Gründen nicht und möchten die Box möglicherweise eliminieren und den Raum unendlich machen. Jetzt können Sie die Hilbert-Raum-Quantenmechanik nicht mehr anwenden, weil die Lösungen nicht dazugehören$l_2$.

Um dies zu beheben, verwenden wir das Dirac-Delta (eine verallgemeinerte Funktion oder Verteilung, die nicht dazugehört$L_2$). Anfangs war es eine leichte Hand, die in der Praxis gut funktioniert, aber mathematisch nicht streng ist. Heute wurde dies zu sogenannten manipulierten Hilbert-Räumen formalisiert , die Verteilungen und damit eine unendlich kontinuierliche Anzahl von Kardinalitätsdimensionen enthalten können$\aleph_1$). Manipulierte Hilbert-Räume werden normalerweise in Einführungen in die Quantenmechanik nicht berührt, nur die schlampige Einführung des Delta-Diracs erfolgt informell.

Antwort: Nach all den Vorarbeiten ist die Antwort kurz. Kontinuierliche Lösungen erscheinen in manipulierten Hilbert-Räumen sowohl für beschränkte als auch für unbeschränkte Zustände. In der Festkörperphysik tritt ein Satz kontinuierlicher beschränkter Lösungen auf. An der Grenze einer unendlichen Anzahl von Atomen werden die Energiebänder für Isolatoren, Metalle und alles dazwischen kontinuierlich (als Ergebnis der "Verschmelzung" der zählbaren Anzahl diskreter Energieniveaus, die zu einem kontinuierlichen Band verschmelzen).