Diskrete vs. kontinuierliche Spektren von Operatoren [Duplikat]

Betrachten Sie einen Operator$A$auf einem Hilbertraum$\cal H$, sagen$L^2(\mathbb R)$um die QM eines Teilchens auf einer realen Achse ohne Spin zu behandeln. Lassen$D(A) \subset \cal H$sei die Domäne von$A$.

Das Spektrum$\sigma(A)\subset \mathbb C$von$A$ist definiert als die Vereinigung der folgenden drei paarweise disjunkten Teilmengen$\sigma_p(A)$,$\sigma_c(A)$,$\sigma_r(A)$. Das erste ist, dass Sie diskretes Spektrum nennen , aber sein Name ist Punktspektrum (das diskrete Spektrum ist ein Sonderfall davon).

Punktspektrum ,$\sigma_p(A)$. Es besteht aus den komplexen Zahlen$\lambda$so dass$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$ist nicht injektiv.

Folglich ist per Definition if$\lambda \in \sigma_p(A)$da muss sein$\psi \in \cal H$so dass$A\psi = \lambda \psi$.

Kontinuierliches Spektrum ,$\sigma_c(A)$. Es besteht aus den komplexen Zahlen$\lambda$so dass$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$ist injektiv,$(A-\lambda I)^{-1} : Ran(A) \to D(A)$ist nicht begrenzt, und$Ran(A-\lambda I)$ist dicht drin$\cal H$.

Folglich gilt per Definition, wenn$\lambda \in \sigma_c(A)$, es gibt keine $\psi \in \cal H$mit$A\psi = \lambda \psi$.

Restspektrum ,$\sigma_r(A)$. Es besteht aus den komplexen Zahlen$\lambda$so dass$A-\lambda I :D(A) \to {\cal H}$ist injektiv,$(A-\lambda I)^{-1} : Ran(A) \to D(A)$ist begrenzt, und$Ran(A-\lambda I)$ist nicht dicht drin$\cal H$.

Diese letzte Komponente des Spektrums ist für normale (im Allgemeinen unbeschränkte) Operatoren immer leer. Insbesondere selbstadjungierte und unitäre Operatoren haben kein Restspektrum. Aus diesem Grund erscheint das Restspektrum bis auf Ausnahmefälle nicht im QM.

Wenn$\lambda \in \sigma_c(A)$, für jeden$\epsilon >0$, Es gibt$\psi_\epsilon \cal H$mit$||\psi_\epsilon||=1$Und

$$||A\psi_\epsilon - \lambda \psi_\epsilon|| < \epsilon$$ Mit anderen Worten, es gibt eine Klasse von angenäherten Eigenvektoren , für die jedoch kein richtiger Eigenvektor existiert$\lambda \in \sigma_c(A)$.

Unter geeigneten weiteren Hypothesen zum Hilbert-Raum (manipulierter Hilbert-Raum) wird die Menge von$\psi_\epsilon$lässt einen Grenzwert außerhalb des Hilbertraums zu. Die Verteilungen$\delta(x-x_0)$sind typische Beispiele für diese Situation, wenn auf den Positionsoperator Bezug genommen wird$X$In$L^2(\mathbb R)$, seit$\sigma(X)=\sigma_c(X)= \mathbb R$.