Warum können nichtkontextuelle ontologische Theorien keine stärkeren Korrelationen haben als kommutative Theorien?

Nun, ein vernünftiger Ansatz für lokale versteckte Variablen besteht darin, die Kommutativität von Operatoren auf verschiedenen raumartig getrennten Systemen zu fordern. Dies ist ziemlich einfach zu motivieren, da Sie ansonsten im Wesentlichen nicht-lokale Operatoren verwenden, die über die entsprechende Transformation stattdessen als nicht-lokale versteckte Variablentheorie mit lokalen Operatoren angesehen werden können.

Vielleicht möchten Sie sich den Artikel von Scott Aaronson ansehen, der die Konsequenzen davon untersucht, wenn dies als Axiom zusammen mit einigen anderen wünschenswerten Eigenschaften von Theorien über verborgene Variablen genommen wird ( Phys. Rev. A 71, 032325 ).

Ich bin mir nicht sicher, ob es sinnvoll ist, darüber hinaus über Kommutativität zu sprechen, da wir uns um die Ergebnisse nach der Messung kümmern, ist es nicht klar, dass die Domäne des Operators sein Bild enthalten sollte, und daher ist die Multiplikation und damit der Kommutator nicht ' t notwendigerweise definiert.

Die Nichtkommutativität von Operatoren stellt sicher, dass wir im Allgemeinen keine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Observablen konstruieren können, die wir unter Verwendung dieser Operatoren modellieren. In einigen Staaten und für einigeDurch die Auswahl von nicht kommutierenden Operatoren können wir gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen konstruieren, zum Beispiel erzeugen der Vakuumzustand und die kohärenten Zustände eines quantisierten einfachen harmonischen Oszillators eine positiv-definitive Wigner-Funktion für Ort und Impuls, die als Wahrscheinlichkeitsverteilung angesehen werden kann. Natürlich fällt diese Möglichkeit auseinander, wenn man zum Beispiel fast jede Überlagerung von kohärenten Zuständen betrachtet. Die Wigner-Funktion ist im allgemeinen Fall nicht positiv definit, was die Interpretation der Wigner-Funktion als Wahrscheinlichkeitsverteilung in den Spezialfällen recht tendenziös macht.

Umgekehrt, wenn wir eine kommutative Algebra von Operatoren haben, können wir eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung über jede Teilmenge der Observablen in jedem Zustand über der Algebra konstruieren. Man könnte diese Eigenschaft als einigermaßen plausible Definition von Klassik auffassen.

Als fachliche Grundlage hierfür mag ich am besten zwei kurze Abhandlungen, John Baez, Letters in Mathematical Physics 13 (1987) 135-136, und Lawrence J. LANDAU, PHYSICS LETTERS A, Volume 120, number 2 (1987). bemerkenswert wenig Interpretation in Bezug auf die Mathematik, aber es gibt eine beträchtliche Literatur, die versucht hat, diese Beziehung auf irgendeine klare Weise zu erreichen.

Eine Literatur, die einen alternativen Weg in die Beziehung zwischen Nichtkommutativität und Messung aufzeigt und die sich auf eine Weise auf die Beziehung zwischen Quantentheorie und klassischer Wahrscheinlichkeitstheorie konzentriert, die ich hilfreich, wenn auch nicht schlüssig finde, ist der Positiv-Operator-Valued-Measure-Ansatz , das durch das Buch von Paul Busch, Marian Grabowski und Pekka J. Lahti, Operational Quantum Physics , Springer, 1995, gut vertreten ist. Wenn Sie in der Literatur oder im ArXiv nach etwas Neuerem von einem dieser drei Autoren suchen, erhalten Sie etwas Erhellendes lesen. Paul Busch ist für meinen Geschmack immer lesenswert.

Was die Physik betrifft, modelliert die klassische Physik Messungen so, dass sie andere Messungen nicht beeinflussen, so dass gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen über mehrere Messungen möglich sind. In Gegenwart eines endlichen Rauschpegels – es gibt immer und überall Rauschen (nur die thermische Komponente des Rauschens verschwindet, wenn man nahe am absoluten Nullpunkt ist, die Lorentz-invariante Quantenkomponente des Rauschens ist nicht kontrollierbar) – - Die unkontrollierte Natur des Rauschens muss von unseren Modellen unserer Messungen berücksichtigt werden. Die Quantentheorie berücksichtigt die nicht-trivialen Auswirkungen gemeinsamer Messungen aufeinander, indem sie die Nichtkommutativität der Operatoren einführt, die zur Modellierung der Messungen verwendet werden. während die klassische Physik die nicht-trivialen Auswirkungen von gemeinsamen Messungen aufeinander modelliert, indem sie die Messapparatur modelliert. Kontextuelle Modelle sind gerade Modelle, die die Messapparatur oder die komplette Versuchsapparatur, im Extremfall das ganze Universum umfassen, nicht nur ein vermeintliches Messsystem.

Das ist etwas abgedroschen. Hoffe jemand findet es sympathisch.

Ich glaube nicht, dass es aus mehreren Gründen einen direkteren Zusammenhang zwischen Nichtkontextualität und Nichtkommutativität gibt. Erstens gibt es nichtkommutative Mengen von Observablen und Zuständen, die dies könnendurch ein nichtkontextuelles Modell simuliert werden. Denken Sie zum Beispiel an das Kochen-Specker-Modell für ein Qubit. Zweitens, um die Frage wirklich zu beantworten, was eine Verletzung einer Ungleichung bedeutet, sollten Sie nicht davon ausgehen, dass die Daten, die Sie in dem Experiment sammeln, notwendigerweise von der Quantentheorie produziert werden (insbesondere tun wir dies nicht für Bells Ungleichungen). Nun gibt es eine Menge operationeller Theorien, die kontextuell sind (im Sinne von Rob Spekken), aber keine C*-algebraische Struktur haben, zB die Theorie, dass der Zustandsraum ein Quadrat ist. Wenn Sie nicht definieren können, was es bedeutet, dass Messungen in diesen Theorien "kommutativ" sind, was unwahrscheinlich erscheint, weil sie keine algebraische Struktur haben, dann ist es klar, dass die Beziehung zwischen Kommutativität und Nichtkontextualität in diesem Zusammenhang zusammenbricht.

Das können sie nicht, weil ontologische nichtkontextuelle Theorien nicht allgemeiner sind als kommutierende Teilmengen der Quantenmechanik. Kurz gesagt, die kommutative Quantenmechanik ist nur die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie, und die Frage, ob es ein ontologisches, nicht kontextuelles Modell für die Quantenmechanik gibt, ist genau die Frage, ob sie auf die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie reduziert werden kann.

Um dies zu sehen, braucht man die operative Definition von Kontextualität von Spekkens: Ein ontologisches nicht-kontextuelles Modell ist eines, in dem jeder Zustand vorliegt$\rho$wird durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt$\mu_\rho(\lambda)$auf einem ontologischen Raum$\Lambda$, und jedes POVM$\{E^k\}$durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung$\xi_{E^k}(λ)$. Dann die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses$k$wird von gegeben

Nun, wenn überhaupt$E^k$pendeln, ich kann schreiben$ρ$in einer Basis, in der sie diagonal sind. Dann

Im besonderen Fall der Nichtlokalität konnte man direkt sehen, dass es sich um eine Diagonale handelt$\rho$ist immer trennbar und lässt somit ein lokales ontologisches Modell zu. Der umgekehrte Weg, um ein Trennbares zu konstruieren$\rho$und kommutative Algebra aus einem lokalen ontologischen Modell ist im Wesentlichen die gleiche wie oben.

Das heißt, ich glaube nicht, dass meine letzte Frage beantwortet ist; Ich würde immer noch gerne eine direktere, physische Verbindung zwischen Nicht-Kommutativität und Kontextualität sehen.