Ich frage mich, ob die eindimensionalen Kontaktwechselwirkungen (selbstadjungierte Erweiterungen des freien Hamilton-Operators, wenn überall außer am Ursprung definiert) über die physikalische Interpretation hinaus eine geometrische Interpretation in Anlehnung an die nicht kommutative Geometrie, den Lipzchitz-Abstand usw. haben.
Besonders einige Verlängerungen (wie Albeverio-Holden-Pseudodelta) sehen so aus, als hätten wir gerade ein Längensegment abgeschnitten aus der freien Lösung und habe dann einfach die Halbzeilen eingefügt. In gewissem Sinne könnte man also argumentieren, dass sie nur die freie Lösung über zwei halbe Linien sind, die eine Entfernung voneinander entfernt sind .
Dennoch ist der vollständige Satz von Erweiterungen vierparametrisch, daher ist mir nicht klar, ob der Rest der Parameter eine geometrische Interpretation hat oder ob diese in eine Lipzchitz-Distanz übersetzt werden kann. Außerdem ist in der nichtkommutativen Geometrie (NCG) die Trennung manchmal mit dem Higgs-Potential verbunden, definitiv nicht mit selbstadjungierten Erweiterungen; Sollte ich über die implizite Verbindung zwischen beiden Konzepten überrascht sein?
Die geometrische Interpretation ist, dass die selbstadjungierten Erweiterungen sinnvolle Randbedingungen codieren, die die Schrödinger-Gleichung eindeutig lösbar machen, während die Hermitizität erhalten bleibt. (Man hat ähnliche Probleme für die Schrödinger-Gleichung in einem beschränkten Gebiet in . Ohne Randbedingungen ist sie unterbestimmt und mit ungeeigneten Randbedingungen nicht hermitesch.)