Schwinger-Darstellung von Operatoren für symmetrische 2-Moden-Zustände von n-Teilchen

Question

Schwinger-Darstellung von Operatoren für symmetrische 2-Moden-Zustände von n-Teilchen

Physik
Gruppentheorie
Forschungsniveau
Quantenmechanik
mathematisch-physik
Gruppendarstellungen

Piotr Migdal

Ein bosonischer (dh permutationssymmetrischer) Zustand von $n$ Partikel hinein $2$ Moden können als homogenes Polynom in die Erzeugungsoperatoren geschrieben werden, d.h

(c_{0} {\hat{a}}^{† n} + c_{1} {\hat{a}}^{† (n - 1)} {\hat{b}}^{†} + c_{2} {\hat{a}}^{† (n - 2)} {\hat{b}}^{† 2} + \dots + c_{n} {\hat{b}}^{† n}) | Ω ⟩,

$\left(c_0 \hat{a}^{\dagger n} + c_1 \hat{a}^{\dagger (n-1)} \hat{b}^{\dagger} +c_2 \hat{a}^{\dagger (n-2)} \hat{b}^{\dagger2} + \ldots+ c_n \hat{b}^{\dagger n}\right)|\Omega\rangle,$ wo

\hat{a}

$\hat{a}$ und

\hat{b}

$\hat{b}$ sind die Vernichtungsoperatoren,

c_{i}

$c_i$ sind komplexe Koeffizienten und

| Ω ⟩

$|\Omega\rangle$ ist der Vakuumzustand.

Alternativ kann man denselben Zustand als Zustand im vollständig permutationssymmetrischen Unterraum von ausdrücken $n$ Qubits (äquivalent - als Zustand des maximalen Gesamtdrehimpulses, d.h. $n/2$ ).

Die Frage ist die folgende - für einen allgemeinen symmetrischen Operator

\sum_{p e r m} (ich)^{\otimes (n - n_{x} - n_{j} - n_{z})} \otimes (σ^{x})^{\otimes n_{x}} \otimes (σ^{j})^{\otimes n_{j}} \otimes (σ^{z})^{\otimes n_{z}},

$\sum_{perm} (\mathbb{I})^{\otimes (n-n_x-n_y-n_z)} \otimes (\sigma^x)^{\otimes n_x} \otimes (\sigma^y)^{\otimes n_y} \otimes (\sigma^z)^{\otimes n_z},$ Was ist sein Äquivalent in Bezug auf Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren?

Teillösung:

Für die einfachsten Fälle (zB $(n_x,n_y,n_z)\in\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ wir bekommen folgendes:

\sum_{ich = 1}^{n} σ_{ich}^{x} ≅ {\hat{a}}^{†} \hat{b} + {\hat{b}}^{†} \hat{a}

$\sum_{i=1}^n \sigma^x_i \cong \hat{a}^\dagger \hat{b} + \hat{b}^\dagger \hat{a}$

\sum_{ich = 1}^{n} σ_{ich}^{j} ≅ - ich {\hat{a}}^{†} \hat{b} + ich {\hat{b}}^{†} \hat{a}

$\sum_{i=1}^n \sigma^y_i \cong -i\hat{a}^\dagger \hat{b} + i \hat{b}^\dagger \hat{a}$

\sum_{ich = 1}^{n} σ_{ich}^{z} ≅ {\hat{a}}^{†} \hat{a} - {\hat{b}}^{†} \hat{b}

$\sum_{i=1}^n \sigma^z_i \cong \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{b}^\dagger \hat{b}$ (AFAIR wird es die Schwinger-Darstellung genannt). Es kann direkt auf Dicke-Zustände überprüft werden, dh (

{(\binom{n}{k})}^{- 1 / 2} {\hat{a}}^{† (n - k)} {\hat{b}}^{† k} | Ω ⟩

${n \choose k}^{-1/2}\hat{a}^{\dagger (n-k)} \hat{b}^{\dagger k}|\Omega\rangle$ ).

Für den allgemeinen Fall scheint es, dass wir bekommen

: {({\hat{a}}^{†} \hat{b} + {\hat{b}}^{†} \hat{a})}^{n_{x}} {(- ich {\hat{a}}^{†} \hat{b} + ich {\hat{b}}^{†} \hat{a})}^{n_{j}} {({\hat{a}}^{†} \hat{a} - {\hat{b}}^{†} \hat{b})}^{n_{z}} :,

$: \left( \hat{a}^\dagger \hat{b} + \hat{b}^\dagger \hat{a} \right)^{n_x} \left( - i \hat{a}^\dagger \hat{b} + i \hat{b}^\dagger \hat{a} \right)^{n_y} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{b}^\dagger \hat{b}\right)^{n_z} :,$ wobei :expr: für die normale Reihenfolge steht , dh die Erstellungsoperatoren links und die Vernichtung rechts platzieren. Es ist jedoch weder überprüft (außer Korrelatoren für 1-2 Partikel) noch bewiesen.

Natürlich kann man die Operatoren auch rekursiv konstruieren, z

\sum_{ich \neq j}^{n} σ_{ich}^{x} \otimes σ_{j}^{j} = (\sum_{ich = 1}^{n} σ_{ich}^{x}) (\sum_{ich = 1}^{n} σ_{ich}^{j}) - ich \sum_{ich = 1}^{n} σ_{ich}^{z} ≅ ({\hat{a}}^{†} \hat{b} + {\hat{b}}^{†} \hat{a}) (- ich {\hat{a}}^{†} \hat{b} + ich {\hat{b}}^{†} \hat{a}) - ich ({\hat{a}}^{†} \hat{a} - {\hat{b}}^{†} \hat{b}),

$\sum_{i\neq j}^n \sigma^x_i \otimes \sigma^y_j = \left(\sum_{i=1}^n \sigma^x_i\right)\left( \sum_{i=1}^n \sigma^y_i\right) - i \sum_{i=1}^n \sigma^z_i \\ \cong \left( \hat{a}^\dagger \hat{b} + \hat{b}^\dagger \hat{a} \right)\left( -i\hat{a}^\dagger \hat{b} + i \hat{b}^\dagger \hat{a} \right) - i \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{b}^\dagger \hat{b} \right),$ Die Frage bezieht sich jedoch auf ein allgemeines Ergebnis in geschlossener Form.

Antworten (2)

Schwinger-Darstellung von Operatoren für symmetrische 2-Moden-Zustände von n-Teilchen

Das V · Answer 1

Vorherige Antwort komplett neu geschrieben

Es scheint mir, dass Ihre Hypothese bis auf eine ständige Korrektur wahr ist:

\sum_{\binom{π : {1, 2, \dots, n} \to {ich, σ_{x}, σ_{j}, σ_{z}}}{\forall ich \in {x, j, z} : c a r d (π^{- 1} (σ_{ich})) = n_{ich}}} ⨂_{ich = 1}^{n} π (ich) ≅ \frac{1}{n_{x}! n_{j}! n_{z}!} : {(a^{†} b + b^{†} a)}^{n_{x}} {(- ich a^{†} b + ich b^{†} a)}^{n_{j}} {(a^{†} a - b^{†} b)}^{n_{z}} :,

$\sum_{\textstyle{\pi: \{1,2,\ldots,n\} \to \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\} \atop \forall i \in \{x,y,z\}:\ \mathrm{card}(\pi^{-1}(\sigma_i))=n_i}} \!\!\bigotimes_{i=1}^n\ \ \pi(i) \cong \frac1{n_x! n_y! n_z!} \mathopen{:} \left( a^\dagger b + b^\dagger a \right)^{n_x} \left( - i a^\dagger b + i b^\dagger a \right)^{n_y} \left( a^\dagger a - b^\dagger b\right)^{n_z} \mathclose{:},$ und dass dies mit multivariater Induktion bewiesen werden kann.

Für Generika $n_x, n_y, n_z$ , Lassen

[[n_{x}, n_{j}, n_{z}]]

$[\![n_x, n_y, n_z]\!]$ bezeichnen symbolisch den Operator auf der linken Seite im Qubit-Bild.

Der Induktionsschritt kann auf der Beobachtung basieren

[[1, 0, 0]] [[n_{x}, n_{j}, n_{z}]] = (n_{x} + 1) [[n_{x} + 1, n_{j}, n_{z}]] - ich (n_{j} + 1) [[n_{x}, n_{j} + 1, n_{z} - 1]] + ich (n_{z} + 1) [[n_{x}, n_{j} - 1, n_{z} + 1]] + (n - n_{x} - n_{j} - n_{z} + 1) [[n_{x} - 1, n_{j}, n_{z}]] .

$[\![1,0,0]\!][\![n_x, n_y, n_z]\!] = (n_x+1)[\![n_x+1, n_y, n_z]\!] - i(n_y+1)[\![n_x, n_y+1, n_z-1]\!] + i(n_z+1)[\![n_x, n_y-1, n_z+1]\!] + (n-n_x-n_y-n_z+1)[\![n_x-1, n_y, n_z]\!].$ (Es ist eine Frage der einfachen Kombinatorik, die Multiplikatoren zu finden.) Es gibt vollkommen analoge Beziehungen zum Multiplizieren mit

[[0, 1, 0]]

$[\![0,1,0]\!]$ oder

[[0, 0, 1]]

$[\![0,0,1]\!]$ auch von links. Durch die Definition der doppelten eckigen Klammern als Null, wenn eine der Komponenten negativ ist, gilt dieser Satz von Beziehungen universell und der ausreichende Satz von Ankerpunkten ist die Wigner-Darstellung von

[[1, 0, 0]]

$[\![1,0,0]\!]$ ,

[[0, 1, 0]]

$[\![0,1,0]\!]$ ,

[[0, 0, 1]]

$[\![0,0,1]\!]$ , wo wir direkt die Äquivalenz zu den Fock-Bildformeln beweisen.

Jetzt würde man einfach beweisen, dass eine der Beziehungen (durch Symmetrie argumentiert) für die rechte Seite gilt, indem man die Produkte nach einer Multiplikation mit neu ordnet

[[1, 0, 0]] ≅ a^{†} b + a b^{†}

$[\![1,0,0]\!] \cong a^\dagger b + ab^\dagger$ und

n ≅ a^{†} a + b^{†} b

$n \cong a^\dagger a + b^\dagger b$ von links. Es erfordert ein gewisses Maß an Arbeit, sollte aber machbar sein. (Ich habe es versucht, bin aber auf einen numerischen Fehler gestoßen.)

Mit einer zukünftigen Bearbeitung im Kopf werde ich versuchen, den Beweis des Induktionsschritts abzuschließen, um zu sehen, ob ich mit dem zusätzlichen Faktor richtig liege.

Unter der Annahme, dass die Beziehung wahr ist, bezweifle ich, dass es eine "geschlossenere Form" als die Erweiterung gibt

\sum_{j = 0}^{n_{x}} \sum_{k = 0}^{n_{j}} \sum_{l = 0}^{n_{z}} \frac{(- 1)^{k + n_{z} - l} {ich}^{n_{j}}}{j! k! l! (n_{x} - j)! (n_{j} - k)! (n_{z} - l)!} (a^{†})^{j + k + l} a^{n_{x} + n_{j} - j - k + l} (b^{†})^{n_{x} + n_{j} + n_{z} - j - k - l} b^{j + k + n_{z} - l}

$\sum_{j=0}^{n_x} \sum_{k=0}^{n_y} \sum_{l=0}^{n_z} \frac{(-1)^{k+n_z-l} i^{n_y}}{j!k!l!(n_x-j)!(n_y-k)!(n_z-l)!} (a^\dagger)^{j+k+l} a^{n_x+n_y-j-k+l} (b^\dagger)^{n_x+n_y+n_z-j-k-l} b^{j+k+n_z-l}$ da dies anscheinend keine Faktorisierung außer derjenigen hat, die die normalen Umordnungsklammern verwendet.

Ja, ich fühle es im Allgemeinen. Die Aufgabe besteht jedoch darin, dies tatsächlich zu beweisen (oder ein Gegenbeispiel zu liefern).

Piotr Migdal · Answer 2

Die postulierte Beziehung ist wahr, und zwar nicht nur für Qubits, sondern für beliebige Systeme der d-Ebene. Ich habe einige Zeit gebraucht, um es tatsächlich zu zeigen (beim Lösen von Welche symmetrischen reinen Qudit-Zustände können innerhalb lokaler Operationen erreicht werden? ), Und der Beweis ist in:

P. Migdał, J. Rodríguez-Laguna, M. Oszmaniec, M. Lewenstein, Welche Multiphotonenzustände werden über lineare Optik in Beziehung gesetzt? , arXiv:1403.3069 [Anhang B: Schwinger-Darstellung symmetrischer Operatoren]

Es ist nicht kompliziert, aber ein bisschen technisch. Das Ganze ist ein bisschen zu lang, um es hier zu schreiben, aber kurz gesagt, die wichtigsten Punkte sind:

Führen Sie ein und zeigen Sie, dass dies mit Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren konsistent ist:

a_{μ}^{†} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \sum_{ich = 0}^{n} | μ ⟩_{ich}

$a_\mu^\dagger = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{i=0}^{n} |\mu\rangle_i$

a_{μ} = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{ich = 0}^{n - 1} ⟨ μ |_{ich},

$a_\mu = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=0}^{n-1} \langle\mu|_i,$

wo $|\mu\rangle_i$ bedeutet einfügen $|\mu\rangle$ zwischen $i$ -ten und $(i+1)$ -ten Teilchen, während $\langle\mu|_i$ entfernt $i$ -tes Teilchen. Das $n$ ist die Gesamtzahl der Teilchen in dem Zustand, auf den es einwirkt.

Zeigen, dass das Folgende gilt

a_{μ_{1}}^{†} \dots a_{μ_{k}}^{†} a_{v_{k}} \dots a_{v_{1}} | ψ ⟩

$a_{\mu_1}^\dagger \cdots a_{\mu_k}^\dagger a_{\nu_k} \cdots a_{\nu_1} |\psi\rangle$

= (\sum_{pd l_{1}, \dots, l_{k}} | μ_{1} ⟩_{l_{1}} ⟨ v_{1} |_{l_{1}} \dots | μ_{k} ⟩_{l_{k}} ⟨ v_{k} |_{l_{k}}) | ψ ⟩,

$=\left( \sum_{\text{p.d. }l_1,\ldots,l_k} |\mu_1\rangle_{l_1}\langle\nu_1|_{l_1} \cdots |\mu_k\rangle_{l_k}\langle\nu_k|_{l_k} \right) |\psi\rangle,$ wo

\sum_{p.d. l_{1}, \dots, l_{k}}

$\sum_{\text{p.d. }l_1,\ldots,l_k}$ bedeutet Summe über paarweise verschiedene Indizes.

Ausdrücken eines beliebigen symmetrischen Operators in Bezug auf die rechte Seite des Obigen.

Schwinger-Darstellung von Operatoren für symmetrische 2-Moden-Zustände von n-Teilchen

Piotr Migdal

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