Welche symmetrischen reinen Qudit-Zustände können innerhalb lokaler Operationen erreicht werden?

Dies ist ein Algorithmus zur Berechnung der homogenen Polynominvarianten im allgemeinen Fall, jedoch ohne jeglichen Versuch, die Komplexität des Algorithmus zu reduzieren. Der grundlegend benötigte Bestandteil des Algorithmus ist die Fähigkeit, über das Haar-Maß der Gruppe der lokalen Transformationen zu mitteln. Im Qubit-Fall ist es nur eine Integration über Kopien von SU(2). Aber selbst in den allgemeineren Fällen von kompakten Lie-Gruppen ist diese Aufgabe möglich, aber umständlich, siehe zum Beispiel die folgende Parametrisierung von SU(N) von: Bertini, Cacciatori, Cerchiai, die für die Integration verwendet werden kann.

Das Verfahren ist wie folgt:

Zuerst berechnet man die Molien-Funktion der Gruppe lokaler Transformationen (Die Wikipedia-Seite beschreibt den endlichen Gruppenfall, der auf kompakte Gruppen verallgemeinert werden kann):

$M(t) = \int \frac{d_H(g)}{det(1-tg)}$

Der Koeffizient von$t^n$in der Taylorentwicklung von$M(t)$ist die Anzahl der linear unabhängigen homogenen Invarianten vom Grad n.

Da der Integrand eine Klassenfunktion ist, kann die Integration auf dem maximalen Torus mit der Weylschen Integrationsformel durchgeführt werden.

Nun konstruiert man für jeden Grad alle möglichen Kombinationen von Inavrianten niedrigeren Grades, und wenn diese Zahl die erforderliche Zahl aus der Molien-Reihe nicht erschöpft, werden die zusätzlichen Invarianten durch Mittelung von Monomen des erforderlichen Grades berechnet. Diese Operation beinhaltet die Integration über das Haar-Maß, die nicht auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann, was der komplexeste Schritt im Algorithmus ist. Diese Operation wird wiederholt, bis eine ausreichende Anzahl linear unabhängiger Polynome erzeugt ist, dann geht man zum nächsten Grad über. Dieser Prozess wird fortgesetzt, bis die Gesamtzahl der Invarianten die Differenz zwischen der Dimension des Vektorraums und der lokalen Symmetriegruppe erreicht.

Praktischere Variationen dieses Verfahrens wurden verwendet, um Polynominvarianten für spezielle Fälle von Verschränkungsproblemen zu konstruieren, siehe zum Beispiel die folgende Arbeit von: Grassl, Rotteler und Beth.

Es scheint mir, dass der Stabilisatorformalismus eine Antwort auf Ihre Frage liefert (siehe Abschnitt 3.1 von quant-ph/0603226 für eine Einführung in den Formalismus). Angesichts der beiden Zustände nehmen Sie einfach die Stabilisatorgruppe für diesen zweidimensionalen Unterraum des gesamten Hilbert-Raums, und sie geben Ihnen einen solchen Satz von Invarianten. Dies hat jedoch natürlich nichts mit den von Ihnen betrachteten global symmetrischen Operationen zu tun und könnte mit jedem Zustandspaar durchgeführt werden. Da Sie jedoch innerhalb des symmetrischen Unterraums gehalten werden, stellt dies sicher, dass diese Stabilisatoren immer eine Beschreibung im schlimmsten Fall polynomisch in der Anzahl lokaler Systeme haben.

Wenn Sie weiter gehen und versuchen möchten, einen Satz von Invarianten zu finden, die Zustände eindeutig identifizieren, die bis zu dieser Form der global symmetrischen lokalen Operation äquivalent sind, dann haben Sie Pech. Dies liegt daran, dass die global symmetrische Menge von Produktzuständen den Raum symmetrischer Zustände überspannt und daher jeder global symmetrische Zustand als Überlagerung von global symmetrischen trennbaren Zuständen geschrieben werden kann.

Das heißt, ohne Festlegung der Zustände ist es unmöglich, eine Observable zu erzeugen, die zwischen den beiden Zuständen unveränderlich ist, sich aber über den Raum symmetrischer Zustände hinweg ändert. Somit hängen die einzigen existierenden Invarianten nur von der Symmetrie der Zustände ab.

UPDATE: Mir ist aufgefallen, dass Norbert und ich die Frage etwas anders interpretiert haben. Ich habe mich auf die Existenz von Observablen konzentriert, die für die LU-äquivalenten Zustände denselben Wert haben. Dies beantwortet effektiv die Frage, ob es eine Messung gibt, die diese Zustände von anderen symmetrischen Zuständen unterscheidet. Das Papier, auf das Norbert verweist, handelt von der mathematischen Struktur der Zustände und kann nicht mit einer einzigen Kopie des Zustandspaars getestet werden. Ich habe keine Ahnung, welche Einstellung Piotr im Sinn hatte (ich dachte ursprünglich, es wäre diese, aber Norberts Antwort hat mich veranlasst, diese Position zu überdenken).

Diese Frage scheint in diesem Beitrag behandelt zu werden:

http://arxiv.org/abs/1011.5229

(Bearbeiten: Mir ist gerade aufgefallen, dass dies auf Qubits beschränkt zu sein scheint, daher beantwortet es Ihre Frage wahrscheinlich nicht ...)

Aus Piotrs Kommentaren zu meiner anderen Antwort geht hervor, dass er eher nach einer Invariante der mathematischen Darstellung des Zustands sucht als nach einer Beobachtungsgröße, die unverändert bleibt. In diesem Fall ist die Antwort sehr unterschiedlich, und daher poste ich eine neue Antwort, anstatt die alte zu ersetzen (da dies bedeuten würde, sie vollständig neu zu schreiben, und die aktuelle Version für einige Leute von Interesse sein könnte).

Jede Dichtematrix kann geschrieben werden als$\rho = \sum_k \alpha_k \sigma_k$, wo$\sigma_k=\bigotimes_i \sigma_{k_i}$und$\{\sigma_{k_i}\}$bilden eine orthonormale Basis für hermitische Matrizen, die der Dimensionalität des Subsystems entsprechen, und enthalten die Identitätsmatrix. Wenn Sie lokale Einheiten anwenden, erhalten Sie$\rho' = \big(\bigotimes_i U_i \big) \rho \big(\bigotimes_i U_i^\dagger \big)$. Wenn Sie nun betrachten, was Term für Term passiert, werden Sie feststellen, dass jeder Operator$\sigma_k$wird nur auf Operatoren mit dem gleichen Gewicht abgebildet (dh nicht-trivial auf der gleichen Anzahl von Subsystemen operierend). Ich werde nehmen$w_k = w(\sigma_k)$die Gewichtsfunktion für jeden Operator sein$\sigma_k$. Also haben wir$w(\sigma_k) = w\big(\big(\bigotimes_i U_i \big) \sigma_k \big(\bigotimes_i U_i^\dagger \big)\big)$. Dies ist trivialerweise wahr, da für jedes Subsystem wo$\sigma_k$in$\rho$fungiert als die Identität (dh für jede$i$so dass$\sigma_{k_i}=\mathbb{I}$)$U_i$und$U_i^\dagger$aufheben, und so fungiert der transformierte Operator auch als Identität auf diesem Subsystem. Umgekehrt, wenn$\sigma_{k_i}\neq \mathbb{I}$dann$U_i\sigma_{k_i}U_i^{\dagger}\neq \mathbb{I}$. Dafür gibt es einen ziemlich intuitiven Grund: Lokale Operationen sollten keine nicht-lokalen Korrelationen erzeugen.

Daraus sollte nun klar werden$\{\beta_w=\sum_{i:w(\sigma_i)=w} |\alpha_i |^2\}_{w=0}^n$ist invariant, da$U \sigma_k U^\dagger = \sum_j \gamma_{jk} \sigma_j$so dass$\sum_j |\gamma_{jk}|^2 = 1$.

Dies ist eine von der Symmetrie unabhängige Erhaltungsgröße und hängt nur von der Tatsache ab, dass alle angewendeten Einheiten lokal sind. Ich glaube jedoch, dass Sie dies wünschen. Sobald Sie das Kriterium auferlegen, dass die Zustände und Operationen symmetrisch sind, haben Sie das zusätzliche Kriterium, dass$\alpha_i = \alpha_j$wenn$\sigma_i$erhalten Sie bei$\sigma_j$durch Permutation der Qudits, und daher$|\alpha_i-\alpha_j|$ist auch für alle solche Paare invariant.

Diese Antwort ist unvollständig, sollte aber für fast alle symmetrischen Zustände eine Antwort liefern ( dh  sie reicht für alle bis auf eine Menge symmetrischer Zustände mit Maß Null).

Der symmetrische Unterraum wird von Produktzuständen aufgespannt. Wir können dann verschiedene Wege betrachten, auf denen ein bestimmter symmetrischer Zustand in symmetrische Produkte zerfällt; insbesondere, wenn jede Wahl der Zerlegung natürlicherweise zu einer Invariante führt.

Eine gierige Art, eine Symmetrie zu zerlegen$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi$Zustand in symmetrische Produkte wäre, einfach nach dem symmetrischen Produkt zu suchen$\ket\phi\ket\phi\cdots\ket\phi$mit welchem$\ket\psi$hat die größte Überlappung. Lassen$\ket{\phi_0}$sei der Single-Spin-Zustand, der dies erfüllt, und

$$\def\bra#1{\langle#1|}\alpha_0 = \Bigl[\bra{\phi_0}\cdots\bra{\phi_0}\Bigr]\ket\psi$$ was ohne Einschränkung der Allgemeinheit positiv ist. Mit Wahrscheinlichkeit 1 der Staat $\ket{\phi_0}$eindeutig ist (da die Menge symmetrischer Zustände, für die sie nicht eindeutig ist, das Maß Null hat). Lassen $\ket{\psi_1}$sei die Projektion von $\ket{\psi}$in das Orthokomplement von $\ket{\phi_0}^{\otimes n}$: Dies ist ein weiterer symmetrischer Zustand. Also definieren wir $\ket{\phi_1}$der (wiederum mit Wahrscheinlichkeit 1 eindeutige) einzelne Spin-Zustand sein, so dass $\ket{\phi_1}^{\otimes n}$hat maximale Überlappung mit $\ket{\psi_1}$; wir lassen $\alpha_1$sei diese Überschneidung; und wir definieren $\ket{\psi_2}$die Projektion von sein $\ket{\psi}$auf das Orthokomplement von $\mathrm{span}\{\ket{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\; \ket{\phi_1}^{\otimes n}\}$. Usw.

Indem man ständig projiziert$\ket{\psi}$auf das Orthokomplement von Spannweiten immer größerer Mengen symmetrischer Produkte stellen wir sicher, dass die resultierenden Projektionen$\ket{\psi_j}$hat keine maximale Überlappung mit einem Produktzustand, der vorher kam, oder allgemeiner, der von den vorhergehenden symmetrischen Produkten überspannt werden kann. Bei jeder Iteration erhalten wir also einen Single-Spin-Zustand$\ket{\phi_j}$so dass$\mathrm{span}\{\ket{\phi_0}^{\otimes n}\!\!,\;\ldots\,,\; \ket{\phi_j}^{\otimes n}\}$hat die Dimension eins größer als in der vorherigen Iteration. Am Ende erhalten wir eine Sammlung von symmetrischen Produkten, die, wenn sie den symmetrischen Unterraum nicht aufspannen, zumindest enthalten$\ket{\psi}$in ihrer Spanne. Wir erhalten also eine Zerlegung

$$\ket{\psi} \;=\; \sum_{j = 0}^\ell \alpha_j \ket{\phi_j}^{\otimes n}$$ wo die Reihenfolge $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$ist streng abnehmend. Nennen wir dies die symmetrische Produktzerlegung von $\ket{\psi}$. (Es würde nicht zu viel erfordern, diese Darstellung auf eine zu verallgemeinern, in der die Zustände $\ket{\phi_0}$, $\ket{\phi_1}$usw. sind nicht eindeutig; aber für das, was als nächstes kommt, wird die Eindeutigkeit wichtig sein.) Angesichts der symmetrischen Produktzerlegung von $\ket{\psi}$, ist es trivial, die entsprechende Darstellung für zu beschreiben $U^{\otimes n} \ket{\psi}$: multiplizieren Sie einfach jeden der $\ket{\phi_j}$durch $U$. Und in der Tat, wenn Sie berechnet haben $U\ket{\psi}$und bestimmt dann seine symmetrische Produktzerlegung, die Zerlegung $$U^{\otimes n}\ket{\psi} = \sum_{j=0}^\ell \alpha_j \Bigl[ U\ket{\phi_j} \Bigr]^{\otimes n}$$ ist genau das, was Sie finden würden: $\ket{\phi_0}^{\otimes n}$hat maximale Überlappung mit $\ket{\psi}$dann und nur dann, wenn $[ U \ket{\phi_0} ]^{\otimes n}$hat maximale Überlappung mit $U^{\otimes n} \ket\psi$, usw. Um also zu zeigen, dass zwei symmetrische Zustände LU-äquivalent sind, genügt es zu zeigen, dass die Sequenz der Amplituden $\alpha_j$gleich sind, und dass die Folge von Single-Spin-Zuständen $\ket{\phi_j}$sind durch eine gemeinsame Einheit verbunden.

Der letzte Teil kann am einfachsten durchgeführt werden, indem eine Normalform für die Zustände gefunden wird, die gleich sind, für Folgen von Single-Spin-Zuständen, die durch eine gemeinsame Single-Spin-Einheit verbunden sind. Wir können dies tun, indem wir eine Einheit finden$T$die

1. Karten$\ket{\phi_0}$zu$\ket{0}$,
2. Karten$\ket{\phi_1}$zu einem Staat$\ket{\beta_1}$in der Spanne von$\ket{0}$und$\ket{1}$, mit$\bra{1}\beta_1\rangle \geqslant 0$,
3. und für jede weitere$j > 1$, Karten$\ket{\phi_j}$zu irgendeinem Zustand$\ket{\beta_j}$was in der Spannweite der Standardbasiszustände liegt$\ket{0}, \ldots, \ket{b_j}$zum$b_j$so klein wie möglich, mit$\bra{b_j}\beta_j\rangle \geqslant 0$wenn möglich. (Für jedes Bundesland$\ket{\phi_j}$die in der Spannweite der vorangegangenen Zustände liegt$\ket{\phi_h}$, der Staat$\ket{\beta_j}$werden ebenfalls von den Bundesländern festgelegt$\ket{\beta_h}$zum$h < j$, in diesem Fall haben wir keine Wahl über den Wert von$\bra{b_j}\beta_j\rangle$.)

Wir haben dann eine solche Einheit$T \ket{\phi_j} = \ket{\beta_j}$; und für zwei beliebige Folgen von Zuständen$\ket{\phi_j}$und$U\ket{\phi_j}$, sollten wir dieselbe Folge von Zuständen erhalten$\ket{\beta_j}$. Sie können dann feststellen, dass zwei symmetrische Zustände äquivalent sind, wenn sie zu derselben Amplitudenfolge führen$\alpha_j$und die gleichen Single-Spin-Zustände in "normaler Form".$\ket{\beta_j}$.

Für den Fall, dass es keinen eindeutigen Zustand gibt$\ket{\phi_j}^{\otimes n}$die maximale Überlappung mit hat$\ket{\psi_j}$bei der Konstruktion der symmetrischen Produktzerlegung besteht das Problem dann darin, die Normalformzustände zu definieren$\ket{\beta_j}$. Allerdings, solange die Staaten$\ket{\phi_j}$eindeutig sind, was bei Maß 1 passiert, sollten Sie eine Polynomgröße-Invariante (bis zu Genauigkeitsbeschränkungen) haben, um zu bestimmen, ob zwei symmetrische Zustände gleich sind.