Bestimmen der Gruppe, die einem gegebenen Potenzial zugeordnet ist?

Dies ist zugegebenermaßen eine unvollständige Antwort, da ich nicht in dieser Art von Physik arbeite, aber auf einige Dinge kann hingewiesen werden. Erstens, nach welcher Art von Symmetrien suchen Sie? Dies ist ein 1-dimensionales Beispiel und es ist nicht periodisch. Wenn Sie also nicht nach etwas Verrücktem suchen, ist es am einfachsten, nach einer affinen Symmetrie der Form zu suchen$V(\alpha x+\beta)=V(x)$. Bilder können helfen:

Plot[x^1 + x^2 + x^4, {x, -1.5, 1.4}]
Plot[-x^1 - x^2 + x^4, {x, -1.5, 1.7}]
Plot[-x^2 + x^4, {x, -1.7, 1.7}]

Man könnte vermuten, dass die Funktionen entweder keine affine Symmetrie oder Reflexionssymmetrie haben. Ich werde das nicht beweisen, aber ich werde Code geben (Erklärung finden Sie im Kommentarbereich), der zeigt, dass dies für verschiedene Eingaben von der Fall ist$A_1,A_2$, Und$A_4$(offensichtlich$A_0$ist irrelevant):

rule = x -> (a x + b); rule2 = {A1 -> 6, A2 -> 3, A4 -> 1}; 
Reduce[(((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 1) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 2) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 3), {a, b}]

Sie erhalten entweder nur die Identität oder die Identitäts- und Paritätstransformation für die meisten Werte von$A_1,A_2,A_4$. Wenn jemand einen strengeren Weg kennt, um dies zu zeigen, oder sieht, dass das, was ich geschrieben habe, falsch ist, posten Sie es auf jeden Fall weg. Ich denke, Sie können es beweisen, indem Sie feststellen, dass Sie, wenn Sie annehmen, dass die Symmetriegruppe endlich ist (was vernünftig erscheint), auch diese Menge haben müssen${x,T(x),T(T(x)),...}$ist endlich, wo$T(x)=\alpha x+\beta$. Seit$T^n(x)=\alpha^n x+\frac{\alpha^n-\alpha}{\alpha-1}\beta=x$für einen gewissen Wert von$n$, du musst haben$\alpha$eine Wurzel der Einheit sein.

Wenn Sie die Möglichkeit einer komplexwertigen Position vorübergehend ausschließen, folgt daraus, dass die einzig möglichen Werte von$\alpha$Sind$\pm 1$.

Wenn$\alpha=1$, dann müssen Sie haben, da das Potential nicht translationsinvariant ist$\beta=0$, wobei die Identität transformiert wird.

Wenn$\alpha=-1$, dann ist es etwas komplizierter, aber das ist intuitiv klar$\beta=0$ist die einzige Möglichkeit, da das Potential bis auf eine Übersetzung unter einer Reflexion genau dann visuell invariant ist$A_1=0$. Sie erhalten also Parität iff$A_1=0$.