Über Zustände, Observable und die Wellenfunktionsinterpretation in der QFT mit Eichfeldern

Zunächst einmal bin ich Mathematiker, also verzeihen Sie mir meine möglichen trivialen Fehler und meine schlechten Kenntnisse der Physik.

In einer QFT beginnen wir einfach mit einem Feld (Skalar, Vektor, Spinorial, Messgerät usw.), also würde ich gerne wissen, was die Observablen und die Zustände in diesem Kontext sind .

In QFT würde der allgemeine Ansatz darin bestehen, den Fock-Raum zu verwenden (für den Fall des freien Felds, da ich nicht wirklich weiß, ob dies für den interagierenden Raum gilt) und nach unten zu gelangen, indem die den Operatoren zugeordneten Partikel verwendet werden A Und A † , zu QM-Teilchen (ich weiß nicht wirklich, ob das stimmt, weil die Anzahl der Teilchen nicht konstant ist und vom Beobachter abhängt) oder durch Verwendung der Wellenfunktionsinterpretation (eine Funktion im Raum von Feldkonfigurationen, die die Schrödinger-Gleichung erfüllt) , obwohl ich gehört habe, dass dieses Funktional nicht Lorentz-kovariant ist (übrigens irgendein Beweis?). Gemäß diesem Artikel (David John Baker, Against Field Interpretations of Quantum Field Theory, http://core.ac.uk/download/pdf/11921990.pdf ) ist die Wellenfunktionsinterpretation jedoch äquivalent zum Fock-Raum, also Jedenfalls ist diese Interpretation physikalisch nicht sinnvoll.

Bei AQFT hingegen sind die Operatoren bereits vorgegeben (wir haben also bereits die Observablen). Wenn die Lorentz-Mannigfaltigkeit global hyperbolisch ist, wäre außerdem eine Cauchy-Hyperfläche eine mögliche Interpretation für einen Zustand.

Sind in einem anderen Aspekt die quantisierten Felder einer gegebenen QFT wirklich beobachtbar in dem Sinne, dass sie messen?

Wenn Sie jetzt Eichfelder hinzufügen, wird alles gruppoidwertig und Observables werden von der Eichgruppe auf Quotienten definiert. In diesem Zusammenhang habe ich nicht wirklich etwas über Zustände geschrieben gesehen und ich habe keine Ahnung, wie der Fock-Raum aussehen würde. Der naive Ansatz wäre, die Wellenfunktionsinterpretation mit Domäne in einem Gruppoid zu betrachten.

Wenn wir uns außerdem auf TQFT, CFT oder eine andere spezifische Klasse von Feldtheorien beschränken, wäre dann all dieses Problem gelöst?

Eine historische Anmerkung: Die von Ihnen zitierte pdf-Referenz scheint hinsichtlich der Referenzen ziemlich veraltet zu sein ... die dort bereitgestellten Interpretationen von QFT und die damit verbundenen Diskussionen / Probleme sind seit Ende der fünfziger Jahre des letzten Jahrhunderts bekannt ;-)
Ich habe eine sehr ausführliche Antwort unter physicaloverflow.org/30642 gegeben

Antworten (1)

Der algebraische Ansatz vermittelt die bessere Vorstellung davon, was die Zustände und Observablen einer Quantentheorie sind, und dies gilt auch für unendlich dimensionale Systeme.

In der modernen mathematischen Terminologie sind Observablen der Quantenmechanik die Elemente einer Topologie ∗ -Algebra, und Zustände sind Objekte ihres topologischen Duals, die positiv sind und Norm eins haben. Der üblichste Fall ist die Einnahme ∗ -Algebra zu sein a C ∗ oder W ∗ (von Neumann) Algebra; jedoch sind bei einer solchen Auswahl unbegrenzte Operatoren streng genommen keine Observablen (aber sie können der Algebra "angegliedert" werden, wenn ihre spektralen Projektionen in der Algebra enthalten sind). Der Vorteil dieses abstrakten Ansatzes ist, dass man durch die GNS-Konstruktion dem Gegebenen sofort einen Hilbert-Raum zuordnen kann ∗ -Algebra (und ein bestimmter Zustand), wobei die Elemente der Algebra als lineare Operatoren wirken und der gegebene Zustand als Durchschnitt bzgl. eines bestimmten Hilbert-Raumvektors.

In üblichen physikalischen Begriffen werden nur selbstadjungierte Operatoren als Observablen betrachtet, da ein Observable ein reelles Spektrum haben sollte (und einer stark kontinuierlichen Gruppe unitärer Operatoren zugeordnet werden könnte). Das Quantenfeld wird normalerweise als Observable in einer QFT betrachtet (es ist selbstadjungiert, aber unbeschränkt, so dass es oft mit der W ∗ Algebra, die von ihrer Familie von Exponentialen, den Weyl-Operatoren, erzeugt wird); und es ist theoretisch durchaus möglich, seinen Durchschnittswert an Zuständen zu messen (es wirklich in Experimenten zu tun, das ist alles andere Problem).

Quantenfeldtheorien sind fast immer in Fock-Räumen vertreten. Da jedoch die mit einem unendlichdimensionalen symplektischen Raum assoziierte Heisenberg-Gruppe nicht lokal kompakt ist, gilt das Stone-von-Neumann-Theorem nicht und es gibt unendlich viele irreduzible inäquivalente Darstellungen der Weyl-Beziehungen , wobei der Fock-Raum nur eine davon ist. Um die Dinge noch komplizierter zu machen, besagt der Satz von Haag, dass grob gesagt die freien und interagierenden Fock-Darstellungen einheitlich inäquivalent sind (aber das ist hauptsächlich ein Problem für die Streutheorie, nicht auf einer grundlegenden Ebene).

Die "Wellenfunktionsinterpretation" (diese Terminologie habe ich noch nie gehört) ist nur die funktorielle Natur des zweiten Quantisierungsverfahrens, das jedem Hilbert-Raum den entsprechenden Fock-Raum zuordnen kann. Dies liegt an Segal , und Sie können sich auch an Nelson wenden . Die Idee ist, dass zu jedem Hilbert-Raum H man kann einen Gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum assoziieren ( Ω , μ ) so dass der Fock-Raum Γ ( H ) ist einheitlich äquivalent zu L 2 ( Ω , μ ) , und die Karte dazwischen H Und Γ ( H ) ( L 2 ( Ω , μ ) ) ist ein Funktor in der Kategorie der Hilbert-Räume mit selbstadjungierten und unitären Abbildungen als Morphismen. Der L 2 ( Ω , μ ) Sichtweise wird sehr natürlich, wenn man daran interessiert ist, QFTs mit Hilfe des stochastischen Integralansatzes (Feynman-Kac-Formeln) in euklidischer Zeit zu untersuchen.

Danke für deine Antwort. Ich habe noch nie von der Interaktion mit dem Fock-Raum gehört, gibt es einen Hinweis darauf? Was die Wellenfunktion betrifft, weiß ich nicht wirklich, wie ich einen Hamilton-Operator dazu bringen kann, eine Schrödinger-Gleichung zu dieser Funktion zu konstruieren. Wissen Sie außerdem im Fall von Eichfeldern, wie Observablen und Zustände definiert würden? Eigentlich habe ich noch nie Wightman-Axiome für den Fall von Eichfeldern gesehen (irgendeine Referenz?), Daher weiß ich nicht wirklich, was eine QFT mit Eichfeldern ist.
Der interagierende Fock-Raum kann in den meisten interessanten QFTs nicht streng konstruiert werden; Sie können jedoch einen Blick auf das zweite Buch von Bratteli-Robinson werfen, um sich eine Vorstellung (auf einen anderen Kontext angewendet) des Haagschen Theorems und der ungleichen Vakuum- / Grundzustandsdarstellungen zu verschaffen, die mit verschiedenen QFTs verbunden sind. Auch das Buch von Derezinski und Gerard gibt (am Ende) einige Details zur Quantisierung von Wechselwirkungstheorien. Schließlich können Sie auch versuchen, einen direkten Blick auf die Originalwerke von Haag selbst zu werfen.
In Bezug auf das Wellenfunktional wäre der Hamiltonoperator in diesem Fall grob gesagt derselbe wie in der Fock-Darstellung, aber mit dem Feld, das durch die Multiplikation mit dem Gauß-Funktional ersetzt wird, und dem Impuls, der durch die Ableitung nach dem oben genannten Funktional ersetzt wird. Im Allgemeinen muss der Hamiltonoperator ein selbstadjungierter Operator auf der sein L 2 ( Ω , μ ) Raum. Wie auch immer, ich bin mit dieser Art von Beschreibung nicht ganz vertraut, also nehmen Sie diese Informationen im Zweifelsfall ;-)
Schließlich unterscheiden sich Eichtheorien prinzipiell nicht von anderen Feldtheorien. Ich bin auch kein Experte in diesem Zusammenhang, aber ich empfehle Ihnen, sich noch einmal den zweiten Band des Bratteli-Robinson anzusehen, in dem Eichfelder in der Sprache von AQFT studiert werden, auch wenn die Anwendung, an die sie denken, meistens darin liegt statistische Mechanik (das sollte sich sowieso nicht so sehr von dem unterscheiden, wonach Sie suchen).
Sorry, aber was meinst du mit der Fock-Darstellung. Zu Beginn der Konstruktion gibt es keinen sympletischen Raum, wie können Sie also bei einer gegebenen QFT eine Fock-Darstellung zuordnen?
Darüber hinaus hängt der Fock-Raum vom Beobachter ab (unterschiedliche Beobachter führen zu unterschiedlichen Fock-Räumen).
Die Algebra der Observablen, die Sie (fast immer) in einer QFT angeben, enthält die sogenannte CCR (CAR)-Algebra, also die Algebra der Weyl-Operatoren { W ( F ) , F ∈ H } , Wo H ein echter Hilbertraum ist, der die Relation erfüllt W ( F ) W ( G ) = e − ich σ ( F , G ) / 2 W ( F + G ) für alle F , G ∈ H , mit σ ( ⋅ , ⋅ ) eine nicht entartete antisymmetrische bilineare Form. Die symplektische Ein-Teilchen-Struktur ist daher Σ ( H ) = ( H , σ ) , und die zugehörige Fock-Darstellung ist dann natürlich. Dies ist jedoch nur eine von unendlich vielen möglichen irreduziblen Darstellungen der CCR-Algebra.
Tut mir leid, aber ich kann wieder nicht sehen, was Sie mit dem Hamiltonian in der Fock-Darstellung meinen.
Über Zustände, Observable und die Wellenfunktionsinterpretation in der QFT mit Eichfeldern
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