Transformieren Eichbosonen wirklich gemäß der adjungierten Darstellung der Eichgruppe?

Ein Eichfeld transformiert sich in die Adjungierte der Eichgruppe , aber nicht in die Adjungierte (oder irgendeine andere) Darstellung der Gruppe der Eichtransformationen .

Im Detail:

Lassen$G$sei die Eichgruppe, und$\mathcal{G} = \{g : \mathcal{M} \to G \vert g \text{ smooth}\}$die Gruppe aller Eichtransformationen.

Ein Messfeld$A$ist eine Verbindungsform auf a$G$-Hauptbündel über der Raumzeit$\mathcal{M}$, die sich umwandelt als

$$A \mapsto g^{-1}Ag + g^{-1}\mathrm{d}g$$ für jede glatte $g : \mathcal{M} \to G$. Wenn $g$ist konstant, dh nicht nur ein Element von $\mathcal{G}$, sondern von $G$selbst, dies reduziert sich offensichtlich auf die adjungierte Aktion, so $A$transformiert sich in den Adjunkten von $G$, aber nicht im Adjunkt von $\mathcal{G}$. Gegenüber $\mathcal{G}$, es transformiert sich nicht in eine richtige lineare (oder projektive) Darstellung im üblichen Sinne, sondern wie ein Element eines Jet-Bündels .