Eine Frage zur Messgerätebefestigung

So wie ich es verstehe, ist eine physikalische Theorie, die eine Eichsymmetrie hat, einfach eine, die redundante Freiheitsgrade in ihrer Beschreibung hat und als solche unter einer kontinuierlichen Gruppe von (im Allgemeinen) lokalen Transformationen, sogenannten Eichtransformationen, invariant ist .

Betrachten Sie in diesem Sinne den Elektromagnetismus als prototypisches Beispiel. Dies hat eine U ( 1 ) Eichsymmetrie, so dass die Theorie unter Transformationen des Vektor-Vier-Potentials invariant ist, A μ

A μ → A ' μ = A μ + ∂ μ Λ ( X )
Wo Λ ( X ) ist eine lokale Funktion von Raum-Zeit-Koordinaten. Ist es dann richtig zu sagen, dass die Theorie durch eine Äquivalenzklasse von Vektor-Vier-Potentialen beschrieben wird, A μ so dass
A ' μ ≅ A μ ⟺ A ' μ = A μ + ∂ μ Λ ( X )
Bedeutet die „ Wahl eines Messgeräts “ vor diesem Hintergrund einfach die Wahl eines bestimmten Viererpotentials? A μ aus dieser Äquivalenzklasse?

Darüber hinaus läuft das „ Festlegen eines Messgeräts “ lediglich darauf hinaus, eine gewisse Beschränkung für die Wahl festzulegen A μ so dass es ein einzelnes Viererpotential " herauspickt ". A μ aus dieser Äquivalenzklasse?

Ist es zum Beispiel richtig zu sagen, dass die Wahl des Lorenz-Messgeräts ∂ μ A μ = 0 entfernt teilweise die Eichfreiheit, da es die Wahl des Viererpotentials einschränkt A μ so dass es befriedigt ∂ μ A μ = 0 , jedoch wird die Auswahl nicht vollständig behoben A μ , dh es " repariert das Messgerät nicht vollständig" , da es einen Unterraum von Messgerättransformationen gibt, die diese Einschränkung beibehalten, entsprechend den Messgerätfunktionen ψ die die Wellengleichung erfüllen ∂ T 2 ψ = C 2 ∇ 2 ψ ?!

Antworten (2)

Ja, all diese Dinge sind richtig.

Die Äquivalenzklasse von Potentialen, die durch Eichtransformation in Beziehung stehen, wird als Eichbahn bezeichnet, da es sich um eine Bahn für die Wirkung der Gruppe von Eichtransformationen auf den Potentialraum handelt.

Die Wahl/Festlegung eines Messgeräts bedeutet, bestimmte Vertreter herauszupicken A von jeder Umlaufbahn nach einer Regel codiert durch F [ A ] = 0 für einige funktional F , dh Sie wählen diejenigen Potentiale aus, die die Gleichung erfüllen. Eine partielle Spurweitenfixierung ist zwar gegeben durch Dinge wie z F [ A ] = ∂ μ A μ , wofür F [ A ] = 0 hat mehr als eine Lösung in einem gegebenen Orbit. Diese Lösungen werden durch Eichtransformationen mit harmonischen Parameterfunktionen in Beziehung gesetzt, und diese Transformationen werden Resteichsymmetrie genannt .

Im Allgemeinen ist es nicht möglich, ein Messgerät festzulegen, das nur einen Repräsentanten aus jeder Umlaufbahn auswählt. Dies ist als Gribov-Problem bekannt .

Ich wollte gerade eine ähnliche Frage wie die von OP stellen. Aber deine Antwort hat die Sache geklärt. Nur eine Frage. Woran erkenne ich, dass eine Messgeräte-Befestigungsbedingung geeignet ist? Zum Beispiel: ∂ μ A μ = 0 , die Lorentz-Eichweite. Woher weiß ich, dass diese Art der Messgerätebefestigung angesichts meiner Messgerätesymmetrie zulässig ist? A μ → A μ + ∂ μ a ?
@Luthien Um zu "wissen", dass eine Spurweitenbefestigung erlaubt ist, müssen Sie dies zeigen, ausgehend von willkürlich A , finden Sie eine a so dass A μ + ∂ μ a erfüllt die Eichbedingung. Dh du nimmst F [ A + ∂ μ a ] = 0 , behandeln A wie gegeben und zeigen, dass eine Lösung für a existiert.

„Läuft „Festlegen eines Messgeräts“ einfach darauf hinaus, eine Einschränkung für die Wahl von festzulegen A μ so dass es ein einzelnes Vier-Potenzial "herauspickt". A μ aus dieser Äquivalenzklasse?" Im Allgemeinen nicht ganz. Wenn Sie beispielsweise wechselwirkende Maxwell- und Dirac-Felder betrachten, müssen Sie die Phase des Dirac-Felds ändern, wenn Sie die Eichung für das Maxwell-Feld ändern, um eine Eichinvarianz bereitzustellen .

Wie ändert man in der Praxis die Phase des Dirac-Feldes? Sie entscheiden sich zum Beispiel dafür, mit dem Coulomb-Eichgerät für EMF zu arbeiten. Was macht man mit den Dirac-Gleichungslösungen?
@VladimirKalitvianski: Siehe zB hep.phy.cam.ac.uk/theory/webber/GFT/gft_handout4_06.pdf , S.2-3. Ich bin sicher, Sie können die Einzelheiten für das Coulomb-Messgerät klären.
Was ich weiß, ist, dass die Leute die Dirac-Gleichung einfach lösen, unabhängig davon, welche Messgeräte sie reparieren.
@VladimirKalitvianski: Das ist richtig. Aber dann werden die Lösungen, die sie für das Dirac-Feld (die 4-Spinor-Wellenfunktion) erhalten, an das Messgerät angepasst, das sie für das 4-Potential des elektromagnetischen Felds gewählt haben, nicht für irgendein anderes Messgerät. Beachten Sie, dass beispielsweise der Lagrange-Operator von interagierenden Dirac- und Maxwell-Feldern nur eichinvariant ist, wenn Sie beide Felder gleichzeitig transformieren.
Aber in der Praxis transformieren wir das Dirac-Feld nicht explizit. Die Dirac-Lösungen sind für verschiedene Spurweiten unterschiedlich und sie hängen sicher mit der Spurweitenumwandlung zusammen, aber wir wandeln sie nie selbst um.
@VladimirKalitvianski: Ich verstehe nicht ganz, welche Schlussfolgerungen Sie ziehen. Welche Probleme hast du mit meiner Antwort?
Sie schreiben: "Im Allgemeinen nicht ganz ..." Und ich sage, niemand macht die Dirac-Feldtransformationen beim Lösen der Gleichungen.
@VladimirKalitvianski: Ehrlich gesagt sehe ich keinen direkten Widerspruch zwischen dem, was ich sage, und dem, was Sie sagen. Das bedeutet nicht, dass ich Ihrer Aussage "niemand macht die Dirac-Feldtransformationen beim Lösen der Gleichungen" zustimme oder nicht zustimme. Aber lassen Sie uns für einen Moment davon ausgehen, dass Ihre Aussage richtig ist. Stellen Sie sich eine andere Situation vor. Sie lösen nicht die Dirac-Gleichung, sondern versuchen, eine bekannte (z. B. die) Lösung der Gleichung zu verwenden. Aus irgendeinem Grund müssen Sie jedoch eine Anzeigebedingung beheben, die sich von der ursprünglichen Lösung unterscheidet. Dann müssen Sie (Forts.)
@VladimirKalitvianski: Transformiere sowohl das 4-Potential des elektromagnetischen Feldes als auch den Dirac-4-Spinor.
Eine Frage zur Messgerätebefestigung
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v