Lokale und globale Symmetrien

Question

Lokale und globale Symmetrien

Eduard Hughes

Könnte mich jemand in die Richtung einer mathematisch strengen Definition lokaler Symmetrien und globaler Symmetrien für eine gegebene (klassische) Feldtheorie führen?

Heuristisch weiß ich, dass globale Symmetrien "an jedem Punkt in der Raumzeit gleich wirken", während lokale Symmetrien "von dem Punkt in der Raumzeit abhängen, an dem sie wirken".

Aber das scheint irgendwie unbefriedigend. Immerhin Lorentz-Symmetrie für ein Skalarfeld $\psi(x)\rightarrow \psi(\Lambda^{-1}x)$ wird herkömmlicherweise als globale Symmetrie bezeichnet, sondern auch eindeutig $\Lambda^{-1}x$ kommt drauf an $x$ . Die naive Anwendung der obigen Aphorismen funktioniert also nicht!

Ich habe die folgende Definition aus verschiedenen Quellen zusammengetragen, einschließlich dieser . Ich denke jedoch, dass es falsch ist, und ich verwechsle verschiedene Prinzipien, die in meinem Kopf noch nicht klar sind. Stimmen die Leute zu?

Eine globale Symmetrie ist eine Symmetrie, die aus der Wirkung einer endlichdimensionalen Lie-Gruppe (z. B. Lorentz-Gruppe, $U(1)$ )

Eine lokale Symmetrie ist eine Symmetrie, die aus der Wirkung einer unendlichdimensionalen Lie-Gruppe entsteht.

Wenn das stimmt, wie sehen Sie die lokale Symmetrie des Elektromagnetismus? $A^{\mu}\rightarrow A^{\mu}+\partial^{\mu}\lambda$ als Aktion einer Lügengruppe?

QMechaniker

Ihr Beispiel (v3) heißt globale Symmetrie, weil

Λ

$\Lambda$ hängt nicht davon ab

x

$x$ .

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Lokale und globale Symmetrien

Ihr Beispiel (v3) heißt globale Symmetrie, weil $\Lambda$ hängt nicht davon ab $x$ .

Benutzer1504 · Answer 1

Ihre vorgeschlagenen Definitionen sind nicht ganz korrekt. Ich werde korrekte Definitionen skizzieren, aber ich werde sie nicht wirklich geben, weil ich nicht weiß, wie Sie die klassische Feldtheorie definieren.

Eine Gruppe lokaler Symmetrien ist eine Gruppe von Symmetrietransformationen, bei denen Sie das System an verschiedenen Orten in Raum / Zeit unterschiedlich ändern können.

Eine Symmetrie ist global (im Sinne der Feldtheorie), wenn sie an jedem Punkt gleich wirkt.

Lokale Symmetrien sind notwendigerweise unendlichdimensional, es sei denn, die Raumzeit-Mannigfaltigkeit besteht aus endlich vielen Punkten (was in der Gittereichtheorie der Fall ist). Globale Symmetrien sind normalerweise endlichdimensional. Feldtheorien mit unendlich vielen globalen Symmetrien sind entweder sehr interessant oder nicht sehr interessant, je nachdem, mit wem man zusammen ist.

Eichsymmetrien sind in der Regel lokale Symmetrien. Sie müssen nicht sein. Sie können eine globale messen $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ , wenn du Lust dazu hast. Aber die nützlichsten Eichsymmetrien sind diejenigen, die es uns ermöglichen, die Physik des Elektromagnetismus und der Kernkräfte in Form von Variablen mit lokalen Wechselwirkungen zu beschreiben. Unsere Beschreibung der Schwerkraft in Form eines metrischen Tensors beinhaltet auch Eichsymmetrien. Das ist vielleicht mehr verwirrend als nützlich.

Lassen $\Sigma$ wahrscheinlich die Raumzeit sein $\mathbb{R}^{3,1}$ . Die lokale Symmetrie der $1$ -Form Beschreibung des Elektromagnetismus ist eine Aktion der Gruppe $\mathcal{G} = \{ \lambda: \Sigma \to U(1) \}$ auf dem Feldplatz $\mathcal{F} \simeq \Omega^1(\Sigma)$ , in welchem $\lambda$ sendet das 1-Formular $A$ zum $1$ -bilden $\lambda \dot{} A$ jeweils gegeben $x$ in $\Sigma$ durch

(λ \dot{} EIN)_{μ} (x) = {EIN}_{μ} (x) + λ^{- 1} \partial_{μ} λ (x) .

$(\lambda \dot{} A)_\mu(x) = A_\mu(x) + \lambda^{-1}\partial_\mu \lambda(x).$ Die Gruppe der Eichtransformationen ist die Untergruppe

G_{0}

$\mathcal{G}_0$ von Funktionen, die im Unendlichen zur Identität werden. An elektromagnetischen Phänomenen können wir anscheinend nichts messen, was davon abhängt

F

$\mathcal{F}$ und

G

$\mathcal{G}$ , außer durch den Quotienten

F / G_{0}

$\mathcal{F}/\mathcal{G}_0$ .

Können Sie auf ein Beispiel für einen gemessenen globalen Wert verweisen? $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ bitte? Hört sich interessant an.
Gute Antwort. Ich möchte hinzufügen, dass viele Physiker eine etwas andere Definition von "Eichgruppe" verwenden. Anstatt den Raum von Karten zu betrachten (der unendlich dimensional ist) $M\rightarrow G$ Als Gauge-Gruppe rufen die Leute normalerweise an $G$ die Eichgruppe (die normalerweise endlichdimensional ist).
@MichaelBrown: Ein dummes Beispiel: Angenommen, Sie möchten die klassische Mechanik eines Teilchens weiter beschreiben $\mathbb{R}P^2$ . Karten zu $\mathbb{R}P^2$ sind wahrscheinlich am einfachsten als Karten zu denken $S^2$ , modulo die offensichtliche globale Wirkung von $Z/2$ .
@Heidar: Ja. Ich habe es vermieden, diesen Begriff zu verwenden. Aber ich stimme zu: Es ist eine gute Konvention, Eichgruppe für Zielraum und Gruppe lokaler Transformationen für Karten zu diesem Raum und Gruppe von Eichtransformationen für die Untergruppe der lokalen Transformationen zu sagen, die tatsächlich Eichtransformationen sind (diejenigen, die verschwinden bei Unendlichkeit).
... und dann habe ich die Antwort so bearbeitet, dass sie die Begriffe enthält ...
Wunderbare Antwort - das hat alles viel geklärt, vielen Dank!
@user1504: Nur eine Frage, warum funktioniert deine $\lambda$ einordnen müssen $U(1)$ ? Wäre eine allgemeinere $\lambda$ mit Zielraum $\mathbb{C}$ nicht funktionieren, aus irgendeinem Grund?
@EdwardHughes: Beachten Sie, dass ich in dieser letzten Gleichung einen Tippfehler gemacht habe. Faktor vergessen $\lambda^{-1}$ , was den zweiten Term gleich macht $\partial_\mu \operatorname{ln}(\lambda(x))$ . $\lambda$ sollte keine Werte aufnehmen $\mathbb{C}^\times$ , denn dann würden wir komplexwertige Formen zu reellen Formen hinzufügen, nachdem wir uns bereits entschieden haben, das Eichfeld durch reelle 1-Formen darzustellen.
@user1504: Du sagst, du könntest ein globales ℤ/𝟚ℤ messen. Ich bin verwirrt durch die Verwendung von "gauge" als Verb in diesem Zusammenhang. Was machst du, wenn du etwas misst?
@Friedrich: Der Kürze halber erkläre ich es in klassischer Physik. Wenn Sie eine Gruppe haben $G$ auf den Raum einwirken $H$ von Geschichten, zu 'messen' $G$ bedeutet, ein anderes klassisches System zu betrachten, dessen Geschichtsraum der Quotient ist $H/G$ .

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