Wie heben sich nicht transversale Photonenpolarisationen in der euklidischen QED auf?

Erinnern Sie sich zunächst daran, wie Streuamplituden in der Minkowski-QED kovariant geschrieben werden.

Man beginnt mit der Betrachtung eines Prozesses mit einem externen Photon, dessen Impuls gewählt wird$k^\mu=(k,0,0,k)$und seien die beiden Querpolarisationsvektoren$\epsilon^\mu_1=(0,1,0,0)$Und$\epsilon_2^\mu=(0,0,1,0)$. Die Ward-Identität sagt uns, ob die Amplitude für den Prozess ist$\mathcal M=\mathcal M^\mu \epsilon_\mu(k)$, wo wir den Polarisationsvektor für das betrachtete externe Photon herausgerechnet haben, dann gehorcht die Amplitude$\mathcal M^\mu k_\mu=0$, auf Schale. Mit unserem Setup sagt uns das einfach$\mathcal M^0=\mathcal M^3$. Wenn wir dann das Quadrat der Amplitude berechnen und über die physikalischen externen Polarisationen summieren, würden wir finden$|\mathcal M|^2=\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\mathcal M^μ\mathcal M^{ν*}=|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$. Aufgrund der Ward-Identität ist dies gleich$−\eta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^\nu$, mit$\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$, und so können wir den Ersatz vornehmen$\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\to-\eta_{\mu\nu}$und so ist es die Ward-Identität, die es uns erlaubt, Streuamplituden kovariant zu schreiben.

Wie lässt sich dies auf den euklidischen Fall verallgemeinern, in dem die Metrik ist?$\delta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,1,1,1)$? Naiverweise brauchen wir die nicht-euklidische Signatur, um die Aufhebung zwischen den offensichtlich positiven Quadraten von Matrixelementen wie oben gefunden zu reproduzieren. Wie lässt sich dieses Verfahren also auf den euklidischen Fall verallgemeinern? Das heißt, wenn die wahre Streuamplitude im euklidischen Fall stillsteht$|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$dann scheint es, dass dies nicht gleichbedeutend sein kann mit$\delta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^{\nu *}$für alle Ward-Identitätstypbeziehungen zwischen den$\mathcal M^\mu$'s und daher wäre es nicht möglich, die Streuamplitude in einer offensichtlich kovarianten Weise zu schreiben.

Was ist los? Übersehe ich etwas Offensichtliches? Ändern sich die Freiheitsgrade des Photons, wenn man in den euklidischen Raum geht oder so?