Was bedeutet „das NN{\bf N} einer Gruppe“?

OP schrieb (v1):

Was bedeutet "the${\bf N}$einer Gruppe" bedeuten?

1) Physiker beziehen sich auf eine irreduzible Darstellung (irrep) für welche Gruppe auch immer$G$es handelt sich dabei um. Die Nummer${\bf N}$bezieht sich auf die Dimension des irrep. Der Punkt ist, dass Irreps so selten sind, dass Irreps oft eindeutig durch ihre Dimension (Modulo-Isomorphismen) spezifiziert sind. (Das stimmt im Allgemeinen nicht ganz, und die Physiker fangen dann an, das fettgedruckte Dimensionssymbol mit anderen Ornamenten zu schmücken, z${\bf 3}$und$\bar{\bf 3}$, oder zB${\bf 8}_v$und${\bf 8}_s$und${\bf 8}_c$, usw. zu unterscheiden.)

2) Übrigens bezüglich einer Gruppenvertretung $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$, wo$G$ist eine Gruppe, wo$\mathbb{F}$ist ein Feld (normalerweise$\mathbb{F}=\mathbb{R}$oder$\mathbb{F}=\mathbb{C}$), wo$V$ist ein$\mathbb{F}$-Vektorraum, und wo$\rho$ein Gruppenhomomorphismus ist ; Beachten Sie, dass sich Physiker sowohl auf die Karte beziehen$\rho$und der Vektorraum$V$als Repräsentation".

Was ist damit gemeint "${\bf N}$einer Gruppe"?

Das${\bf N}$einer Gruppe ist eigentlich eine Abkürzung für die$N$-dimensionale irreduzible Darstellung dieser Gruppe.

Is ist nur eine Abkürzung für ein${\bf N}$Darstellung? Wenn ja, was genau ist eine${\bf N}$Repräsentation einer bestimmten Gruppe?

Die Gruppenelemente sind abstrakte Operationen, die dadurch definiert werden, wie sie auf gegebene Objekte wirken. Zum Beispiel die Rotationsgruppe in drei Dimensionen,$\mathrm{SO(3)}$, wird durch Elemente gebildet, die Koordinatensysteme so drehen, dass die Länge jedes Vektors unveränderlich ist. Um die Dinge deutlicher zu machen, weisen wir diesen Gruppen lineare Darstellungen zu, dh wir bilden die Gruppenelemente in Matrizen ab, die auf einem Vektorraum wirken$\mathbb V$. Wenn$\mathbb V$ist$N$-dimensional, also ist es die Gruppendarstellung.

Ich falle$N$-dimensionale Matrizen, die die Gruppenelemente darstellen, können - durch eine Ähnlichkeitstransformation - in eine Blockdiagonalform geschrieben werden, dann wird die Darstellung als reduzierbar bezeichnet . Andernfalls heißt es irreduzibel (oder einfach irrep. ) und kann mit bezeichnet werden$\bf N$was seine Dimension bezeichnet. Zum Beispiel allgemeine Rotation in der Ebene, die die Gruppe bilden$\mathrm{SO(2)}$, kann einfach geschrieben werden als$e^{i\theta}$gibt eine eindimensionale irreduzible Darstellung. Andererseits die zweidimensionale Darstellung

$$\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{bmatrix}.$$ ist reduzierbar, da sie in die Diagonalform gebracht werden kann $$\begin{bmatrix} e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}\\ \end{bmatrix},$$ durch Verwendung einer Ähnlichkeitstransformation, die erzeugt wird durch $$\frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1&1\\ -i&i\\ \end{bmatrix}.$$ Wir sollten diese eindimensionale irreduzible Darstellung mit this bezeichnen $\bf 1$und daher wird die zweidimensionale reduzierbare Darstellung mit bezeichnet $\bf 1\oplus \bf 1$, bei dem die $\bf 1$bezieht sich auf jeden der eindimensionalen Blöcke, die nach einer Ähnlichkeitstransformation geschrieben werden können. Diese Darstellung wirkt tatsächlich auf eine direkte Summe von zwei Vektorräumen von Dimensionen $1$.

• Wie kann ich eine solche Darstellung konkret erarbeiten/aufschreiben, wie die Pauli-Matrizen z$SU(2)$? Für ein einfaches Beispiel wäre ich dankbar.
• Was bedeutet es, wenn sich etwas "verwandelt wie die${\bf N}$"?

Um die irreduziblen Darstellungen herauszuarbeiten, müssen wir uns mit der Algebra statt mit der Gruppe befassen. Unter allen Elementen einer Lie-Gruppe gibt es spezielle, die verwendet werden können, um andere zu erzeugen. Sie werden Generatoren der Gruppe genannt und erfüllen eine bestimmte Struktur, die Lie-Algebra genannt wird . Zum Beispiel die Gruppe$\mathrm{SU}(2)$hat eine Lie-Algebra$\mathfrak{su}(2)$deren Generatoren sind$T_a$,$a=1,2,3$, befriedigend

$$[T_a,T_b]=i\epsilon_{abc}T_c.$$ Eine Repräsentation $R$dieser abstrakten Elemente muss diese Struktur bewahren, d.h. $$[R(T_a),R(T_b)]=i\epsilon_{abc}R(T_c),$$ wo $R(T)$versteht sich als ein $N$-dimensionale Matrix.

Aus der Lie-Algebra erhält man alle möglichen Darstellungen. Dies geschieht normalerweise, indem die Generatoren in der sogenannten Cartan-Weyl-Basis geschrieben werden, die die Algebra in die Cartan-Subalgebra (die maximale Menge selbstkommutierender oder diagonalisierbarer Generatoren) und die Schritt- oder Leiteroperatoren zerlegt. Die Zustände einer gegebenen irreduziblen Darstellung sind dann durch die Eigenvektoren der Cartan-Generatoren gegeben. Diese Staaten sind es eindeutig$N$-dimensionale Vektoren vorausgesetzt, dass die Algebra-Darstellung ist$N$-dimensional. Wenn wir also sagen, dass sich etwas - zum Beispiel ein Feld - wie die transformiert$\bf N$einer Algebra meinen wir, dass dieses Objekt auf eine Spaltenmatrix abgebildet wird$N$Einträge, deren Basis durch die oben erwähnten Eigenvektoren gegeben ist. Zum Beispiel die$\mathfrak{su}(2)$Algebra hat nur einen Schrittoperator,$T_3$. Für eine zweidimensionale irrep. die Matrix$R(T_3)$hat zwei Eigenvektoren. Ein sich transformierendes Feld wie$\mathbf N$- oder einfach als Dublette - ist$\phi$, so dass

$$R\phi= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1\\ \phi_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \phi_1'\\ \phi_2' \end{bmatrix}.$$

Man kann zum Beispiel zeigen, dass die$\mathfrak{su}(2)$Algebra hat$N$-dimensionale Darstellungen für jede ganze Zahl$N$. Die klassischen Algebren$\mathfrak{su}(n)$,$\mathfrak{so}(n)$und$\mathfrak{sp}(n)$mindestens die Singulett-, die definierende und die adjungierte Darstellung haben. Das Singulett ist die eindimensionale Darstellung, dh es sind nur Zahlen. Beachten Sie, dass die einzige Möglichkeit, dass Zahlen eine nicht-triviale Algebra erfüllen können, darin besteht, dass sie alle Null sind. Sie sind in der Physik nützlich, wenn sich etwas überhaupt nicht umwandelt. Die definierende Darstellung ist die$n$-dimensional, zB die dreidimensionale Darstellung für ein Quark, das sich unter dem Flavour transformiert$\mathfrak{su}(3)$. Wenn das Vektorfeld$\mathbb V$ist die Algebra selbst, so heißt die Darstellung adjungiert. In diesem Fall ist die Dimension der Algebra gleich der Dimension der Darstellung. Die Eichfelder transformieren sich unter diese Darstellung der Eichgruppen. Zum Beispiel die Algebra$\mathfrak{su}(5)$hat$24$Generatoren so die$\bf{24}$ist die adjungierte Darstellung von$\mathfrak{su}(5)$.

Sobald wir die Darstellung kennen$R(T)$für eine Lie-Algebra können wir sie durch eine Exponentialoperation in die Gruppe induzieren,

$$R(g)=\exp\left[i\phi R(T)\right],$$ wo $g$bezeichnet das Gruppenelement. Beachten Sie, dass, wenn wir ein Singulett der Algebra haben, das Singulett der Gruppe nur die Zahl ist $1$.

Es gibt jedoch einige Feinheiten, wenn man von der Algebra zur Gruppe übergeht . Ausgehend von einer gegebenen Lie-Algebra und Zuweisung einer gegebenen Darstellung kann man zu verschiedenen Lie-Gruppen kommen. Also für die adjungierte Darstellung von$\mathfrak{su}(2)$die generierte Gruppe stellt sich heraus$\mathrm{SO}(3)$Anstatt von$\mathrm{SU}(2)$.

''das$N$einer Gruppe$G$'' bezieht sich auf ein$N$-dimensionale irreduzible (projektive) Darstellung der (typischerweise halbeinfachen) Gruppe$G$. Eine Darstellung ist ein Homomorphismus$U$aus$G$zum Raum linearer Selbstabbildungen eines Vektorraums$V$(im projektiven Fall auf die Strahlen wirkend); es ist irreduzibel, wenn es keine Basis gibt, auf der alles beruht$U(g)$sind blockdreieckig. Die Dimension der Darstellung ist die Dimension von$V$.

Zum Beispiel die Repräsentationstheorie von$SO(3)$impliziert, dass es genau eine irreduzible projektive Darstellung jeder Dimension gibt$N$. Die zweidimensionale Darstellung ist die Spinordarstellung, die dreidimensionale die gewöhnliche Vektordarstellung.

Wenn ein Objekt$x$verwandelt sich wie ein$N$dann$x$ist ein generisches Element von an$N$-dimensionaler Raum mit der Darstellung$N$, und transformiert sich daher unter ein Gruppenelement$g$mittels$x\to U(g)x$. Zum Beispiel bei$SO(3)$, wenn$x$verwandelt sich als$2$dann ist es ein Spinor, wenn es sich wie ein transformiert$3$dann ist es ein Vektor usw.

In vielen Fällen bestimmt die Dimension die Darstellung bis auf Isomorphie, daher der Jargon. (Ansonsten können Vertretungen angerufen werden$N$und$\overline N$usw., um sie zu unterscheiden.) Zum Beispiel ist die Dimension von SU(5) 24, und die 24 charakterisiert die adjungierte Darstellung (die die Dimension 24 hat).