Verwirrung über die Terminologie der Gruppendarstellung in der Physik

Hintergrund

Ich sehe eine Menge verwirrender Terminologie für Gruppendarstellungen in der Physik. Hier ist ein typisches Beispiel aus DJ Griffiths‘ Introduction to Elementary Particles , in dem er über Quark-Geschmackskombinationen in Baryonen spricht:

Was den Geschmack betrifft, gibt es 3 3 = 27 Möglichkeiten: u u u , u u D , u D u , u D D , … , S S S , die wir in symmetrische, antisymmetrische und gemischte Kombinationen umformen; sie bilden irreduzible Darstellungen von S U ( 3 ) , ebenso wie die analogen Spinkombinationen Darstellungen von bilden S U ( 2 ) .

Aussichtspunkt

Ich bin sehr neu in der Repräsentationstheorie, aber so wie ich es verstehe, ist eine Repräsentation ein Homomorphismus ρ : G → G L ( v ) aus einer Gruppe G (von Transformationen) zur allgemeinen linearen Gruppe eines Vektorraums v . Somit v Dort "leben" die Spin- (oder Isospin-, oder Flavour-, etc.) Vektoren, während die Repräsentation die Matrizen transformierender Elemente liefert v . Nun haben einige Darstellungen einen (eigentlichen, nichttrivialen) invarianten Unterraum v 1 ⊂ v , wofür ρ ( G ) v ∈ v 1 Wenn v ∈ v 1 . Eine solche Darstellung wird als reduzierbar bezeichnet (oder genauer zerlegbar oder vollständig reduzierbar , glaube ich) und kann blockdiagonalisiert werden.

ρ D ( G ) = U ρ ( G ) U − 1 = ( ρ 1 ( G ) 0 0 ρ 2 ( G ) ) ,
durch eine invertierbare Matrix U . Mit anderen Worten, ρ 1 Und ρ 2 sind Darstellungen von G An v 1 Und v 2 (Wo v 2 = v ∖ v 1 ist auch ein invarianter Unterraum), und wir haben v = v 1 ⊕ v 2 Und ρ D = ρ 1 ⊕ ρ 2 . Eine nicht reduzierbare Darstellung heißt irreduzible Darstellung .

Frage

Also, wenn das obige richtig ist, ist die zitierte Terminologie nicht falsch? Griffiths sagt, dass die symmetrischen, antisymmetrischen und gemischten Geschmackskombinationen irreduzible Darstellungen von bilden S U ( 3 ) , aber nach meinem Verständnis sind diese Kombinationen nicht einmal Teil der Darstellung, sondern Elemente in einem Vektorraum, auf den die Darstellung wirkt. Wäre die korrekte Aussage nicht, dass diese Kombinationen unveränderliche Unterräume unter bilden S U ( 3 ) , und dass sich jeder solcher invarianter Unterraum gemäß einer irreduziblen Darstellung von transformiert S U ( 3 ) ?

Die Antwort auf Ihre abschließende rhetorische Frage lautet natürlich „ja“. Ihr Lehrer hat Ihnen nicht erklärt, dass Physiker die Vektorräume und Unterräume informell mit den Matrizen und Blockmatrizen verschmelzen, die auf sie einwirken, indem sie beide als Repräsentationen charakterisieren?
@CosmasZachos Nun, ich würde es nicht als rhetorische Frage bezeichnen. Eher etwas, dessen ich mir fast sicher war, wofür ich aber eine Bestätigung von jemandem brauchte, der sich mit der Materie besser auskennt, um meine Sorgen zu beruhigen. Aber jetzt mit Ihrer Antwort fühle ich mich sehr zuversichtlich, also danke! Leider wurde das in den Vorlesungen ziemlich schnell übersehen, und was für ein bisschen Verständnis von Darstellungstheorie ich habe, musste ich nebenbei lesen.
@CosmasZachos Wenn Sie (eine Variation davon) Ihren Kommentar als Antwort posten, werde ich ihn als akzeptiert markieren. Wenn nicht, schreibe ich möglicherweise zu gegebener Zeit selbst eine Antwort und zitiere Ihren Kommentar gemäß den Empfehlungen hier .
Ich denke, das ist am besten (du erklärst es dir selbst); wenn es Sie immer noch als etwas fasziniert, das über ein Missverständnis bei der Verwendung hinausgeht ...
Nur um hinzuzufügen, dass ich genau die gleiche Verwirrung hatte, als ich dieses Material lernte, und mir nie jemand direkt gesagt hat, dass Physiker das Wort „Repräsentation“ auf faule Weise verwenden. Ihre letzte Aussage in Ihrer Frage (die mit einem Fragezeichen endet) ist richtig. (Wie ich schon oft festgestellt habe ... letztendlich ist die physikalische Art, über Dinge zu sprechen, sehr bequem und effizient, weil sie sich auf das konzentriert, was für die Physik wichtig ist, aber das Lernen erschweren kann, weil sie nicht präzise ist.)

Antworten (1)

Wie vom Kommentator Cosmas Zachos angegeben

Physiker verschmelzen informell die Vektorräume und Unterräume mit den Matrizen und Blockmatrizen, die auf sie einwirken, indem sie beide als Repräsentationen charakterisieren

und wie von Kommentator Andrew bestätigt, ist die letzte Aussage in meiner Frage richtig. Dh,

dass die symmetrischen, antisymmetrischen und gemischten Flavour-Kombinationen [...] invariante Unterräume unter bilden S U ( 3 ) , und dass sich jeder solcher invarianter Unterraum gemäß einer irreduziblen Darstellung von transformiert S U ( 3 )

Verwirrung über die Terminologie der Gruppendarstellung in der Physik
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