Was bedeutet "eine Darstellung tragen" (in der SUSY-Algebra)?

Die Leute haben im Wesentlichen die Details erklärt, aber lassen Sie mich versuchen, es in einer Sprache zu formulieren, die einem Mathematiker vertrauter ist. Ich werde Feinheiten ignorieren, die für allgemeinere Lie-Superalgebren auftreten.

Lassen$\mathfrak g$sei eine Lie-Superalgebra mit der$\mathbb Z_2$Einstufung$\mathfrak g = \mathfrak g_e\oplus\mathfrak g_o$, wobei die beiden Faktoren jeweils der gerade ("bosonische") und der ungerade ("fermionische") Teil sind. Der gerade Teil$\mathfrak g_e$eine geschlossene Lie-Algebra bilden und auf den ungeraden Teil wirkt$\mathfrak g_o$durch die adjungierte Aktion

$$\begin{equation} ad_g:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o, \qquad q\rightarrow ad_g(q)=[g,q], \end{equation}$$ Wo $g\in\mathfrak g_e$Und $[.,.]$ist der Kommutator der Lie-Superalgebra. Jetzt, $\mathfrak g_o$ist ein Vektorraum und bildet somit einen Darstellungsraum des geraden Teils $\mathfrak g_e$(unter der adjungierten Aktion). Sie können jetzt zerlegen $\mathfrak g_o$in irreduzible Darstellungen von $\mathfrak g_e$. So können Sie eine Basis von konstruieren $\mathfrak g_o$das transformiert sich unter eine Darstellung von $\mathfrak g_e$unter der adjungierten Aktion, oder mit anderen Worten, ihre Kommutatoren entsprechen nur einer Darstellung von $\mathfrak g_e$.

In dem Fall, von dem Sie sprechen,$\mathfrak g_e$ist nur die Poincare-Algebra und$\mathfrak g_o$transformiert sich unter bestimmter Spinor-Darstellung davon (unter der adjungierten Aktion/dem Kommutator).

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Bearbeiten: Ich glaube, ich habe zuvor die Fragen zur Rolle von Super-Jacobi-Identitäten missverstanden. Lassen Sie mich, dem Vorschlag von joshphysics folgend, dies mit der etwas mathematischeren (basisunabhängigen) Sprache näher erläutern. Für einen basisabhängigeren Ansatz empfehle ich die Antwort von joshphysics unten.

Wie ich oben erklärt habe, die adjungierte Aktion$\text{ad}:\mathfrak g_e\rightarrow\mathfrak{gl}(\mathfrak g_o)$, oder anders gesagt$\text{ad}_x:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o$(Wo$x\in\mathfrak g_e$), ist eigentlich ein$\text{dim}(\mathfrak g_o)$dimensionale Darstellung der Lie-Algebra$\mathfrak g_e$auf dem Vektorraum$\mathfrak g_o$. Dies bedeutet, dass es sich um einen Lie-Algebra-Homomorphismus handelt

$$\left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right](z) = \text{ad}_{[x,y]}(z),\qquad x,y\in\mathfrak g_e, z\in \mathfrak g_o,$$

wo ich die Notation verwende

$$\left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right] = \text{ad}_x\circ \text{ad}_y - \text{ad}_y\circ \text{ad}_x.$$

Dass die adjungierte Aktion die obige Identität erfüllt und somit eine Repräsentation ist, kann man sehr leicht zeigen, indem man sich der Jacobi-Identite bedient. Somit stellen die Jacobi-Identitäten sicher, dass die adjungierte Aktion ein Lie-Algebra-Homomorphismus ist. Wenn Sie sich für eine Basis entschieden haben, können Sie leicht erkennen, dass dies dem entspricht, was Joshphysics in seiner Antwort angibt. Insbesondere die Koeffizienten$s_{\alpha,i}^\beta$(in der Notation von Joshphysics) einer Darstellung des geraden Teils entsprechen$\mathfrak g_e$. Obwohl ich nicht denke, dass es im Allgemeinen die adjungierte Darstellung sein muss (das ist zum Beispiel bei der Super-Poincare-Algebra nicht der Fall).

Ich denke, dies entspricht wahrscheinlich Heidars Antwort, aber ich werde es trotzdem für diejenigen aufnehmen, die weniger mathematisch sind. Wir betrachten eine Lie-Superalgebra mit einer Basis$\{B_i, F_\alpha\}$die folgenden Strukturbeziehungen erfüllen:

$$\begin{align} [B_i, B_j] &= ic_{ij}^{\phantom{ij}k}B_k, \qquad [F_\alpha, B_i] = s_{\alpha i}^{\phantom{\alpha i}\beta} F_\beta, \qquad \{F_\alpha, F_\beta\} = \gamma_{\alpha\beta}^{\phantom{\alpha\beta}i}B_i. \end{align}$$ Der $B_i$'s werden bosonische Generatoren genannt und die $F_i$werden Fermionische Generatoren genannt. Nun fragen wir uns: Können die Strukturkonstanten beliebig gewählt werden? Nun nein; Teil der Definition einer Lie-Superalgebra sind die Klammern $[\cdot, \cdot]$Und $\{\cdot, \cdot\}$sind antisymmetrisch bzw. symmetrisch. Darüber hinaus müssen die Super-Jacobi-Identitäten als Teil der Definition erfüllt werden. Antisymmetrie der Klammer $[\cdot, \cdot]$, sagt zum Beispiel, dass das $c_{ij}^{\phantom{ij}k}=-c_{ji}^{\phantom{ij}k}$. Man kann dann zeigen, dass die Durchsetzung der Super-Jacobi-Identitäten die Matrizen erfordert $S_i$definiert als $$\begin{align} (S_i)_\alpha^{\phantom\alpha\beta} = s_{\alpha i}^{\phantom{\alpha i}\beta} \end{align}$$ bilden eine adjungierte Darstellung der bosonischen Lie-Subalgebra, die durch die erste Strukturbeziehung oben gegeben ist.

Sie könnten jetzt fragen, ok, das ist alles schön und gut, aber warum kümmern wir uns um Algebren, die auf diese Weise definiert sind (wie die Forderung nach Super-Jacobi-Identitäten)? Nun, die Antwort darauf gibt ein berühmter Satz von Haag, Lopuszanski und Sohnius .

Im Allgemeinen sagen, dass einige Objekte$A_{i}$tragen eine (lineare) Darstellung$R$einer Gruppe$G$bedeutet nur, dass Sie die Aktion in Betracht ziehen$G$am Set von$A$s entspricht der Darstellung$R$von$G$An$\displaystyle \mathrm{span}(\{A_i\})$.

Physiker verwenden häufig Indizes, um lineare Darstellungen schnell zu identifizieren (z. B. 1 "Vektorindex" = Fundamentaldarstellung), insbesondere für die Lorentz-Gruppe.

Der Fall der fermionischen Indizes ist etwas komplizierter, da sie nicht wirklich Darstellungen der Lorentz-Gruppe sind und wie twistor59 sagte, müssen Sie die doppelte Abdeckung berücksichtigen. Ich denke, dass dies nicht der Hauptpunkt Ihrer Frage ist, und Sie können einige Details auf Wikipedia finden .

Für einen Mathematiker erscheint dies natürlich trivial, da Sie sich vorstellen können, dass jede Menge von n Objekten eine n-dimensionale Darstellung einer beliebigen Gruppe trägt. Der Punkt ist, dass Sie auswählen, welche Gruppen In der Feldtheorie relativistische Invarianz implementiert wird, indem jedes Feld eine Darstellung der Lorentz-Gruppe trägt und skalare Objekte (Lagrange, Amplituden usw.) mit ihnen erstellt werden.

Tragen Sie eine bestimmte Repräsentation$R$bedeutet dann, dass die Lorentz-Gruppe wie definiert wirkt$R$auf Ihre Objekte (Feld und andere Operatoren). Wie Sie in einem Kommentar vorgeschlagen haben, erfahren Sie, was der Kommutator mit den Operatoren ist, die die Generatoren der Lorentz-Gruppe darstellen.

Kommentare zur Frage (v3):

Die fermionischen SUSY-Generatoren gehören zu einem Supervektorraum$V$. Das ist ein Vektorraum$V$ trägt eine Darstellung einer Lie-Algebra$L$, zB die Lorentz-Lie-Algebra, bedeutet einfach, dass es sich um eine Lie-Algebra-Darstellung der Lie-Algebra handelt$L$.

Eine ähnliche Terminologie gibt es bei der Lie-Algebra$L$durch eine Lie-Gruppe ersetzt$G$.

Warnung: Beachten Sie, dass in der Literatur häufig Autoren von einer Lie-Gruppe sprechen$G$wenn sie wirklich die entsprechende Lie-Algebra meinen$L$, und umgekehrt.

Beachten Sie insbesondere, dass eine Lie-Gruppendarstellung$V$der Lie-Gruppe$G$ist auch eine Lie-Algebra-Darstellung$V$der entsprechenden Lie-Algebra$L$, während das Gegenteil nicht unbedingt der Fall sein muss.