Darstellungen einer Gruppe

Griffiths verwendet eine unter Experten übliche, aber für Anfänger verwirrende Sprache. Wenn er zum Beispiel sagt, dass ein Vierer-Vektor zur vierdimensionalen Darstellung der Lorentz-Gruppe „gehört“, meint er damit nicht, dass der Vierer-Vektor ein Mitglied der Darstellung selbst ist; er meint, dass der Vierervektor ein Mitglied des Darstellungsraums ist , des Vektorraums, auf dem die Darstellung wirkt.

Eine lineare Darstellung bildet jedes Gruppenelement auf eine lineare Transformation in einem Vektorraum ab. Jede solche Transformation kann in gewisser Weise durch eine Matrix dargestellt werden. Eine vierdimensionale Darstellung der Lorentz-Gruppe bildet Lorentz-Transformationen ab$4\times 4$Matrizen auf offensichtliche Weise. Diese Matrizen wirken auf Vierervektoren und transformieren sie. Die Menge aller möglichen Vierervektoren ist der vierdimensionale Darstellungsraum.

Übrigens gibt es weniger naheliegende Darstellungen, die Lorentz-Transformationen auf lineare Transformationen nicht vierdimensionaler Vektorräume und damit auf nicht vierdimensionale Matrizen abbilden$4\times 4$. Beispielsweise bilden spurlos symmetrische Vierer-Tensoren mit zwei Indizes einen 9-dimensionalen Darstellungsraum.

Skalare, Vektoren usw. sind in der Tat in Bezug auf eine Gruppenoperation definiert (hier$SO(3)$) und die Dimensionalität der Darstellung reicht in einigen Fällen aus, um die Darstellung selbst zu identifizieren.

Es ist möglich, Darstellungen von zu haben$SO(3)$von Dimension$2L+1$. Sie können einfach die Zustände mit Drehimpuls nehmen$L$als Basiszustände für den Trägerraum. Wenn die Dimension ist$1$( dh $L=0$) spricht man von einem Skalar (unter dieser Gruppe).

Die Darstellung in diesem Zusammenhang würde einer Abbildung von abstrakten Operatoren entsprechen$(2L+1)\times (2L+1)$Matrizen, die auf den Trägerraum einwirken. Die Basiszustände transformieren sich durch oder tragen eine Repräsentation, anstatt selbst eine Repräsentation zu sein.

Das naheliegende Beispiel wäre die Darstellung durch quadratische Größenmatrizen$(2L+1)$der Drehimpulsoperatoren$L_{x,y,z}$, die normalerweise als elementare Übung in der grundlegenden Quantenmechanik zu finden sind.