Terminologie zur tensorialen Repräsentation einer Gruppe

Das könnte extrem trivial sein, aber ich muss sicher sein, dass ich mich nicht irre. Ich stoße oft auf Aussagen, in denen der Autor sagt

"Tensoren sind Beispiele für Darstellungen für die Lorentz-Gruppe". (Eine moderne Einführung in die Quantenfeldtheorie, Michele Maggiore. Seite 20).

Das ist mir klar, wenn ich zB betrachte S Ö ( 3 ) , oder S Ö ( 3 , 1 ) Ich kann mir vorstellen, seine Transformationen auf Skalare, Vektoren oder Ereignistensoren anzuwenden und die zugehörigen Darstellungen zu finden. Der vorherige Satz ist also kein Schreibfehler? Ich denke, ich sollte sagen, dass eine tensorielle Darstellung der Lorentz-Gruppe eine Darstellung ist, die auf Tensoren wirkt, ist das richtig?

Ich fand ein ähnliches Problem in einem eher physikalischen Kontext. Mit der Aussage

" D entartete Eigenzustände liefern eine d-dimensionale irreduzible Darstellung für die Gruppe G ". (Gruppentheorie in Kürze für Physiker, A. Zee. Seite 163).

Hier ist der Kontext. Gegeben ein Hamiltonian H und seine Symmetriegruppe G , Dann H ist unter den Transformationen invariant T von G

H = T − 1 H T → H T = T H
Berücksichtigung des Eigenwertproblems
H ψ = E ψ
H ( T ψ ) = T H ψ = E ( T ψ )
damit wir das sehen können T mischt keine Zustände verschiedener Eigenräume, und die Eigenräume sind aus der Sicht wie invariante Unterräume des Hilbert-Raums T . Anhand einer geeigneten Basis für den Hilbertraum kann ich zeigen T hat eine Blockdiagonalform und ist daher reduzierbar. Aber in Anbetracht H nur auf einem bestimmten Eigenraum v E dann hat der Hamiltonian die Form H = E ICH und nach dem Lemma von Schur kann ich sagen, dass der spezifische Block zugeordnet ist v E der reduzierbaren Darstellung von T ist eine irreduzible Darstellung. Ist das mit der vorherigen Aussage gemeint? Das ist eine richtige Wahl der Basis ψ im Eigenraum zeigt mir, was ist die irreduzible Darstellung?

Antworten (1)

Eine Darstellung einer Gruppe G ist ein Paar ( φ , v ) Wo v ist ein Vektorraum und φ : G → G L ( v ) ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen der Gruppe G und die Menge der invertierbaren linearen Transformationen vorbei v . Manchmal rufen Autoren an φ die Darstellungen und manchmal Autoren nennen v die Repräsentation.

Da kann man sagen, dass der erste Weg in Ordnung ist φ trägt Informationen über den Raum, auf dem es wirkt. Andererseits ist der zweite, wie Sie betonen, ein Missbrauch der Terminologie. Allerdings oft (nicht immer!) einmal v festgelegt ist, gibt es nur eine Auswahl für φ , also ist es in Ordnung.

Für Tensoren v ist das Tensorprodukt von R N R A N k mal und φ ist der einzigartige Homomorphismus, der macht G wirkt auf Tensoren auf die übliche Weise, die wir kennen.

Für das von Ihnen vorgestellte Hamilton-Beispiel gilt: v ist der Eigenraum der Energie E Und φ ist ein unitärer Operator, auf den beschränkt ist v , U | v , der auf die Zustände wirkt und mit dem Hamiltonoperator kommutiert. Gerade weil es mit ihm kommutiert, verlassen wir nie den Eigenraum, so der Operator U eingeschränkt werden kann G L ( v ) .

Übrigens verwenden Sie Schurs Lemma rückwärts. Es heißt, wenn [ H , U | v ] = 0 und die Darstellung ist dann irreduzibel H ∝ 1 (was wahr ist). Nicht umgekehrt. Das bedeutet, dass ( U | v , v ) kann immer noch eine reduzierbare Darstellung sein, wenn es invariante Unterräume gibt. Angenommen, Ihr Hamiltonoperator hat entartete Energien für Zustände mit demselben Gesamtspin J = S + L . Wenn wir uns dann Energie-Eigenräume ansehen und uns nur um den Spin kümmern S , und nicht J , finden wir dort möglicherweise eine direkte Summe von Spindarstellungen.

Es ist also in beiden Fällen die gleiche Situation, ich identifiziere nur den Darstellungshomomorphismus mit dem Raum, auf den die Matrizen der allgemeinen linearen Gruppe wirken. Vielen Dank für die Antwort und für die Präzisierung des Lemmas von Schurl.
Ich würde nicht sagen, identifizieren. Es ist eher eine Synekdoche : Sie beziehen sich auf etwas, indem Sie sich auf einen Teil davon beziehen, anstatt auf das Ganze.
Völlig klar, vielen Dank
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