Was ist "ein Vektor von SO(n)SO(n)SO(n)"?

Die Gleichung, die Sie angegeben haben, ist in der Tat die Definition der Matrixmultiplikation, angewendet auf a$d\times d$Matrix und a$d\times 1$Matrix. Aber das zugrunde liegende Konzept ist mehr.

Die Sache mit Vektoren ist, dass sie in gewissem Sinne unabhängig von den Zahlen existieren, die zu ihrer Darstellung verwendet werden. Beispielsweise repräsentiert ein gewöhnlicher 3D-Verschiebungsvektor eine physikalische Länge und eine physikalische Richtung. Diese Dinge sind keine Zahlen, sie sind abstrakte Ideen. Sie erhalten die Zahlen nur, wenn Sie ein Koordinatensystem auswählen und dann den Vektor mit den Koordinatenachsen vergleichen. Unterschiedliche Koordinatensysteme geben Ihnen unterschiedliche Zahlensätze für denselben Vektor.

Zwei Koordinatensysteme können durch Transformationen wie Drehung und Spiegelung in Beziehung gesetzt werden. Mit anderen Worten, bei einem gegebenen Koordinatensystem A können Sie eine Transformation identifizieren, die es in das Koordinatensystem B umwandelt, und Sie können sich a ausdenken$d\times d$Matrix,$R_{d\times d}$, die diese Transformation darstellt. Was einen Vektor zu einem Vektor macht, ist, dass die Zahlen, die den Vektor im Koordinatensystem A beschreiben, und die Zahlen, die den Vektor im Koordinatensystem B beschreiben, durch dieselbe Matrix in Beziehung stehen.

Die Gruppe aller möglichen Transformationen hat einen Namen. Zum Beispiel,$SO(3)$ist die Gruppe aller Drehungen im 3D-Raum. Dementsprechend wird alles, was sich beim Drehen des 3D-Koordinatensystems als Vektor verhält (dh es folgt Gleichung 1), als Vektor von bezeichnet$SO(3)$, oder ein$SO(3)$Vektor.

Falls dies offensichtlich erscheinen sollte, lassen Sie mich darauf hinweisen, dass es Mengen von Größen gibt, die sich nicht so verhalten, insbesondere wenn Sie anfangen, über andere Arten von Transformationen als 3D-Rotationen zu sprechen. Beispielsweise bilden alle möglichen Lorentz-Transformationen, einschließlich sowohl Rotationen als auch Boosts, die Gruppe$SO(3,1)$. Die Energie und der Impuls (eines einzelnen Teilchens) bilden einen Vektor von$SO(3,1)$, denn sie ändern sich gemäß Gleichung (1) (mit$R_{d\times d}$eine Lorentz-Transformationsmatrix ist), wenn Sie Referenzrahmen ändern. Aber das elektromagnetische Feld nicht. Sie brauchen eigentlich zwei Faktoren von$R_{d\times d}$um zu berücksichtigen, wie sich EM-Felder zwischen Referenzrahmen ändern. Das macht das EM-Feld zu einem Rang-2-Tensor von$SO(3,1)$.

Ich möchte Sie auch auf diese meine Frage zur Mathematik über die Bedeutung eines "physikalischen Vektorraums" verweisen , die den Unterschied zwischen einem mathematischen Vektor und einem physikalischen Vektor berührt. Nur letzteres unterliegt der Anforderung von Gleichung (1).

Ja, er hat den Vektor so definiert (eine Vektordrehung ist gleichbedeutend mit einem Basiswechsel), sonst wäre es kein Vektor. Ein Tensor ist eine andere Art von Objekt, er hat mindestens zwei Indizes und verhält sich anders als ein Vektor unter Koordinatentransformation (wie in Ihrem Buch definiert). Sie könnten wahrscheinlich mehr über lineare Algebra bis hin zu Tensoren lesen, bevor Sie ein Physikbuch lesen (es wird Ihr Leben einfacher machen), weil sie in der Physik eingeführt werden, da sie offensichtliche Dinge waren, aber es sich um ziemlich gut definierte mathematische Konzepte handelt. Am gegenüberliegenden Ende befindet sich ein Skalar, der sich bei einer Koordinatentransformation nicht ändert.

Im Kontext zB einer pseudo-orthogonalen Lie-Gruppe

von pseudoorthogonalen Matrizen$\Lambda$für die Metrik

ein "Vektor von$O(p,q)$" ist ein Element der$n$-dimensionale Vektordarstellung (auch bekannt als die definierende Darstellung oder fundamentale Darstellung) von$O(p,q)$.

Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.