Invariante Tensoren in allgemeiner Darstellung und ihre physikalische Bedeutung

Kurze Antworten

1. Wenden Sie den Young-Kalkül an (gemäß dem Vorschlag von ACuriousMind in den Kommentaren). Um die Multiplizität der trivialen Darstellung in einem Tensorprodukt von Darstellungen von zu finden$SU(n)$, beachten Sie, dass jede irreduzible Darstellung$D$von$SU(n)$hat eine eindeutig konjugierte irreduzible Darstellung$\bar D$so dass es der Young-Kalkül zulässt$D\otimes \bar D$um ein rechteckiges Young-Diagramm in voller Höhe einzufügen$n$(was unveränderlich ist unter$SU(n)$). Wie von Wooster in den Kommentaren vorgeschlagen, in Ordnung$D\otimes\bar D$Um ein solches Young-Diagramm aufzunehmen, werden die gemeinsamen Symmetrietypen von$D$Und$\bar D$muss mit irgendeiner Tensorpotenz/äußerem Produkt des vollständig antisymmetrischen Tensors kompatibel sein (dh eine Überlappung ungleich Null haben).$\epsilon_{i_1,\dots,i_n}$. In$SU(n)$, Junge Diagramme dieser Art entsprechen der invarianten oder trivialen Darstellung.
2. Wenn Sie die anzeigen$n$dimensionale Darstellung von$SU(n)$als eine Art Ein-Teilchen-Hilbert-Raum, dann können die aus Tensorprodukten dieser Darstellung gebildeten Invarianten als '$SU(n)$-neutrale' Vielteilchenzustände. Abstrakter könnte man Repräsentationen interpretieren$SU(n)$ganz anders als eine Art Eichtheorie, in der die 'Teilchenzahl' gemessen wird.
3. Das Verzweigungsproblem wurde in einigen Spezialfällen gelöst. Beispielsweise gibt es eine explizite Formel für die Verzweigung von Darstellungen für$SU(n)\rightarrow SU(n-1)$. Für Darstellungen mit niedrigem Rang ist der Young-Kalkül ein leistungsfähiges Allzweckwerkzeug zur Bestimmung der Verzweigung. Eine Strategie besteht darin, die grundlegende Darstellung von zu zerlegen$SU(5)$in Darstellungen von$H\subset SU(5)$, und vergleichen Sie dann iterativ, wie Tensorprodukte zerlegt werden. Betrachten Sie als Beispiel das Problem der Zerlegung von Rang-2-Darstellungen von$SU(5)$in Darstellungen von$SU(2)\subset SU(5)$. Die fundamentale (Vektor-)Darstellung von$SU(5)$zerbricht als$5_5 \rightarrow 2_2\oplus (1_2 \oplus 1_2 \oplus 1_2)=2_2\oplus 3\times 1_2$. Als nächstes haben wir$5_5\otimes 5_5=10_5^A\oplus 15_5^S \rightarrow (2_2\oplus 3\times 1_2)\otimes (2_2\oplus 3\times 1_2)=(2_2\otimes 2_2)\oplus 3 \times (2_2\otimes 1_2) \oplus 3\times (1_2\otimes 2_2)\oplus 9\times 1_2=3_2^S\oplus 1_2^A\oplus 3\times 2_2^S\oplus 3\times 2_2^A\oplus 3\times 1_2^A\oplus 6\times 1_2^S$. Wenn wir Terme nach Symmetrie gruppieren, sehen wir das$10_5^A\rightarrow 4\times 1_2^A\oplus 3\times 2_2^A$, Und$15_5^S\rightarrow 3_2^S\oplus 3\times 2_2^S\oplus 6\times 1_2^S$.

Hintergrundinformationen zum Young-Kalkül

In der Physik werden irreduzible Darstellungen oft durch ihre Dimension gekennzeichnet. Diese Notation ist kompakt, verdeckt aber die zugrunde liegende algebraische Struktur. Junge Diagramme bieten eine transparentere Notation, die auf einem tiefen Ergebnis basiert, der Schur-Weyl-Dualität , die irreduzible Darstellungen von verknüpft$GL(n)$zu denen der Permutationsgruppe$S_r$An$r$Symbole (hier$r$ist der Rang einer Tensordarstellung). Letztendlich kommt die Schur-Weyl-Dualität daher, dass endlichdimensionale Darstellungen von$GL(n)$können alle aus Tensorprodukten einer einzigen Fundamentaldarstellung konstruiert werden (dies ist das Analogon zu$\frac{1}{2}$Darstellung von$SU(2)$aus der elementaren Quantenmechanik). Im Moment müssen Sie nur wissen, dass es eine 1-1-Korrespondenz zwischen Darstellungen von gibt$GL(n)$und die Menge aller Young-Diagramme mit maximaler Höhe$n$. Junge Diagramme vereinfachen die Aufgabe der Zerlegung von Tensorprodukten von Darstellungen von erheblich$GL(n)$, sowie viele Untergruppen von$GL(n)$mit "ähnlicher" Struktur (z$U(n)$,$SL(n)$,$SU(n)$, usw.). Sie machen es auch einfacher, bestimmte Teillösungen des Verzweigungsproblems zu bemerken, wie z. B. das Bestimmen, wie Darstellungen von$GL(n)$zerlegen in Darstellungen von$GL(n-1)$.

Lassen$r$eine positive ganze Zahl sein. Junge Diagramme sind Partitionen von zugeordnet$r$: Folgen von ganzen Zahlen$\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_k\geq 0$so dass$\sum_j \lambda_j = r$. Gegeben eine Partition$(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$, zeichnen Sie ein Young-Diagramm wie folgt: (i) zeichnen Sie eine horizontale Reihe von$\lambda_1$Kästchen, (ii) zeichnen Sie eine horizontale Reihe von$\lambda_{j+1}$Kästchen beginnend links unterhalb der$j$Wurf,$1\leq j<k$. Zum Beispiel die Partition$(2,1,1)$von$r=4$würde dem Diagramm entsprechen

Wie oben erwähnt, jedes Diagramm mit max$n$Zeilen entspricht einer irreduziblen Darstellung von$GL(n)$. Auch diese Tatsache ist nützlich, weil$GL(n)$ist eng verwandt mit vielen anderen Interessengruppen in der Physik. Ein Young-Diagramm kann als eine effiziente Möglichkeit angesehen werden, die Symmetrisierung von Tensor-Indizes zu verfolgen: nach dem Platzieren von Tensor-Indizes$i_1$durch$i_r$In den Quadraten eines Young-Diagramms sind die entsprechenden irreduziblen Tensoren symmetrisch (gerade) unter Permutationen, die Zeilen erhalten, und antisymmetrisch (ungerade) unter Permutationen, die Spalten erhalten. Es gibt eine allgemeine Formel für die Dimension von a$GL(n)$Darstellung durch ein Young-Diagramm gekennzeichnet, aber in der Praxis kann die Dimension für niedrigen Rang effizienter berechnet werden, indem die Zerlegungsregeln für Tensorprodukte verwendet werden, die jetzt erklärt werden.

Die Tensorproduktzerlegungsregeln für$GL(n)$aus einer speziellen Art von „inversem Verzweigungsproblem“ für die Permutationsgruppe folgen$S_r$. Am Ende erhält man folgende Regeln:

Lassen$L=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$Und$M=(\mu_1,\dots,\mu_\ell)$zwei irreduzible Darstellungen von sein$GL(n)$, gegeben durch ihre Young-Diagramme.

1. Zeichnen Sie die entsprechenden Diagramme$L$Und$M$. Im Diagramm für$M$, wählen Sie ein eindeutiges Symbol für jede Zeile (z$a$für die erste Reihe,$b$zum zweiten,$c$für das dritte usw.) und schreiben Sie das Symbol in jedes Kästchen der Reihe dieses Symbols.
2. Finden Sie alle Möglichkeiten, in denen$\mu_1$ $a$'s können dem Young-Diagramm von hinzugefügt werden$L$damit keine zwei$a$erscheinen in derselben Spalte, und das resultierende Diagramm ist ein weiteres Young-Diagramm (dh die Länge der Zeilen nimmt nicht zu).
3. Finden Sie für jedes größere Young-Diagramm, das Sie oben erhalten haben, alle Möglichkeiten, wie$\mu_2$ $b$'s können ohne zwei in derselben Spalte platziert werden, zusammen mit einer zusätzlichen Einschränkung: Beim Lesen der hinzugefügten Symbole von rechts nach links, von oben nach unten, die Anzahl der$a$'s, die gelesen wurden, müssen mit der Anzahl von übereinstimmen oder diese überschreiten$b$, die bei jedem Schritt erscheinen.
4. Wiederholen Sie für die$\mu_3$ $c$dann$\mu_4$ $d$'s usw., außer dass jetzt beim Auferlegen der letzten in Schritt 3 genannten Einschränkung die erfasste Anzahl von$c$'s kann die Anzahl von nicht überschreiten$b$'s (usw.).
5. Das Tensorprodukt$L\otimes M$zerlegt sich in eine direkte Summe aller so erhaltenen Young-Diagramme.

Betrachten Sie als Beispiel das folgende Tensorprodukt:

Um dies zu zerlegen, beschriften wir zunächst das zweite Diagramm mit$A$'s und$B$'S:

Als nächstes finden wir alle Möglichkeiten zum Hinzufügen$A$Blöcke, und dann$B$Blöcke, zum Young-Diagramm von$L$nach den oben genannten Regeln:

$\rightarrow$

Beachten Sie, dass Diagramme wie die folgenden nicht zulässig sind:

Die ersten beiden Diagramme enthalten zwei$A$'s in der gleichen Spalte, während das letzte nicht erlaubt ist, weil wir beim Lesen der hinzugefügten Symbole rechts-links oben-unten erhalten$ABBA$, was mehr hat$B$ist als$A$'s nach dem dritten Buchstaben (dies ist von der in Schritt 3 angegebenen Regel).

Nun stellt sich heraus, dass alle irreduziblen Darstellungen von$GL(n)$bleiben irreduzibel, wenn sie auf beschränkt sind$SU(n)$. Einige Darstellungen von$GL(n)$die zuvor verschieden waren, werden isomorph. Dies kommt daher, dass es zwei irreduzible Darstellungen von gibt$GL(n)$sich nur durch Potenzen des Determinantenhomomorphismus voneinander unterscheiden:$\det(gh)=\det(g)\det(h)$. Sobald die Determinante auf Eins gesetzt ist$SU(n)$(oder$SL(n)$Übrigens) verschwindet diese Unterscheidung, und Darstellungen, die sich nur in ihrer Macht unterschieden$\det(g)$sind isomorph. Glücklicherweise gibt es eine einfache Möglichkeit, diese Redundanz zu berücksichtigen: unter$SU(n)$, die Vertretungen$(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$Und$(\lambda_1+s,\dots,\lambda_n+s)$sind gleichwertig. Um die Redundanz zu berücksichtigen, wählen wir einfach aus$s=-\lambda_n$und Etikettendarstellungen von$SU(n)$nur mit$n-1$nicht steigende ganze Zahlen statt$n$. Eine Folge davon ist, dass wenn$\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n$, Dann$[\lambda_1,\dots,\lambda_n]\cong[0,0,\dots,0]$: Tensoren, die rechteckigen Young-Diagrammen entsprechen, sind unter unveränderlich$SU(n)$. Um die Multiplizität der trivialen Darstellung in Tensorprodukten zu finden, können Sie anhand der Zerlegungsregeln überprüfen, ob jede irreduzible Darstellung vorhanden ist$V$von$SU(n)$hat ein einzigartiges Konjugat$\bar V$so dass$V\otimes\bar V$beinhaltet die triviale Darstellung.

Literaturhinweise zum Weiterlesen:

Gruppentheorie und ihre Anwendung auf physikalische Probleme (von Morton Hamermesh): Kapitel 7 und 10.

Theorie der Gruppendarstellungen und Anwendungen (A. Barut & R. Raczka): Kapitel 7 und 8.