Bilden Spinoren einen Vektorraum?

Seine Notizen klingen etwas wirr. Er sagt richtig, dass die Gruppe SU(2) kein Vektorraum ist, scheint aber zu glauben, dass dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren, auf die die SU(2)-Matrizen wirken, keinen Vektorraum bilden. Ich denke, dass er vielleicht an die Umlaufbahn denkt, die Sie erhalten, wenn Sie einen festen Startspinor wählen${\bf v}_0$und betrachten Sie die Menge, die Sie erhalten, indem Sie mit allen möglichen SU(2)-Matrizen darauf reagieren. Diese Teilmenge von Spinoren (die Umlaufbahn von${\bf v}_0$) ist kein Vektorraum, aber das bedeutet nicht, dass die Menge aller Spinoren Spinoren kein Vektorraum ist.

Ich hoffe, die Dinge gut beschrieben zu haben:

Hier ein Zitat aus seiner im OP erwähnten Monographie From Spinors To Quantum Mechanics, S. 48-49:

Tatsächlich existiert die Gruppenstruktur der Rotationsgruppe ohne jede Bezugnahme auf einen Vektor von$\mathbf{R}^3$. Alles, was die Gruppenstruktur wirklich definiert, ist das Einmaleins der Gruppenelemente. Ein solches Einmaleins kann als Extrapolation auf eine unendliche Gruppe betrachtet werden$G$was eine Cayley-Tabelle für eine endliche Gruppe ist. Die Drehungen als Elemente einer Gruppe zu betrachten, führt zu einem echten Paradigmenwechsel: Eine Drehung wird als eine Funktion betrachtet, die auf andere Drehungen und nicht auf Vektoren wirkt. (Fußnote 1) Die Wirkung dieser Funktion auf die anderen Drehungen ist nur eine linke Multiplikation mit einem Gruppenelement in der abstrakten Gruppe, [...]

Jetzt Zitat aus Fußnote 1

Die wahren Untersuchungsobjekte in der Gruppentheorie sind nicht die Vektoren, sondern die Elemente von$F(\mathbf{R}^3, \mathbf{R}^3)$( die Menge aller Zuordnungen von$\mathbf{R}^3$zu sich selbst - meine Bemerkung ), da die abstrakten Axiome einer Gruppe den Vektoren die Staatsbürgerschaft absprechen, indem sie sie völlig ignorieren und aus der Formulierung ausschließen. Das zu untersuchende Zusammensetzungsgesetz ist die Zusammensetzung von Funktionen.

Was hier passiert, ist, dass er den Verweis auf Vektoren in entfernt$\mathbf{R}^3$insgesamt durch Verwendung der sogenannten Automorphismus-Darstellung der (universellen Abdeckung der) Rotationsgruppe (dh$g_j\in\text{SU}(2) \mapsto f_g(g_j):= g\circ g_j$), Und

Daher müssen die 2 × 1-Spaltenvektoren, an denen die 2 × 2-Matrizen der Darstellung arbeiten, Rotationen codieren

Diese Kodierung bedeutet eigentlich, dass die Summe zweier 2 x 1 Spaltenvektoren keine Rotation kodiert , also schlussfolgert er, dass die Spinoren keinen Vektorraum bilden, sondern selbst die Spingruppen-Mannigfaltigkeit$\text{SU(2)}$(oder$\text{SL(2},\mathbb{C})$für Lorenzsche Spinoren).

Hier ist seine Musterseite 51, die das gesamte Konstrukt für räumliche Rotationen beschreibt.

Dies ist im Grunde eine völlig neue Theorie der Spinoren. Die Tatsache, dass Spinoren direkt Spingruppenelemente sind, ist ein neuer Ansatz gegenüber dem Standard in der QM/QFT-Literatur, in der Spinoren Elemente des topologischen Vektorraums sind, die eine kontinuierliche Darstellung der universellen überdeckenden Gruppe von Rotationen im Euklidischen/Minkowski-Raum tragen (Zeit). Coddens' Ansicht ist ein Vorschlag im Geiste von Cartan, in dem die Geometrie von grundlegender Bedeutung ist und er behauptet, eine Alternative zum Penrose/Rindler-Ansatz für Spinoren zu bieten. Die traditionelle Sichtweise von Spinoren stammt aus der (axiomatischen) Quantenfeldtheorie und ist im Wesentlichen algebraisch/funktionalanalytisch durch die ursprünglichen Ideen von van der Waerden/Wigner/Bargmann.

Ich habe mir die Arbeit von Coddens nur kurz angesehen, aber wenn ich es richtig verstehe, ist das Äquivalent zu der Aussage, dass die Menge der Einheitsvektoren keine Vektoren sind, weil sie keinen Vektorraum bilden. Sie können nicht zwei Einheitsvektoren addieren und erhalten immer einen anderen Einheitsvektor.

Er erwähnt Hestenes und geometrische Algebra in seiner Einführung, was meiner Meinung nach ein viel klareres intuitives geometrisches Bild von Spinoren vermittelt. (Mir ist nicht klar, warum er das ablehnt.) In der geometrischen Algebra sind die Spinoren nur die gerade Teilalgebra – die linearen Kombinationen aller Produkte einer geraden Anzahl von Basisvektoren. Da jeder Basisvektor eine (orientierte) Spiegelung darstellt, repräsentieren Paare von Basisvektoren Drehungen (dh Paare von Spiegelungen).

In 2D besteht die geometrische Algebra aus linearen Kombinationen eines Skalars (1), zwei Basisvektoren (x und y) und einem Bivektor, der die Ebene darstellt (xy). Die gerade Teilalgebra sind die Linearkombinationen von$1, xy$Wo$(xy)^2=-1$. Die 2D-Spinoren sind also nur die komplexen Zahlen.

In 3D besteht die geometrische Algebra aus einem Skalar (1), drei Basisvektoren (x, y, z), drei Bivektoren, die Koordinatenebenen darstellen (yz, xz, xy), und einem Trivektor (xyz), der das orientierte Volumenelement darstellt. Die gerade Teilalgebra sind die Linearkombinationen von$1, yz, xz, xy$Wo$(yz)^2=(xz)^2=(xy)^2=-1$. Die 3D-Spinoren sind also nur die Quaternionen.

Wenn wir zwei generische Vektoren haben$a$Und$b$, Dann$ab=a\cdot b+a\wedge b=|a||b|(\textrm{cos }\theta+B \textrm{sin }\theta)$Wo$B$ist der Einheitsbivektor in der Ebene von$a$Und$b$Und$\theta$ist der Winkel zwischen ihnen. Wenn die zu multiplizierenden Vektoren parallel sind, ist das Ergebnis ein reiner Skalar, wenn sie senkrecht sind, ist das Ergebnis ein reiner Bivektor. Das Skalarprodukt ist aus der Vektoralgebra bekannt und ist nur der skalare Teil des geometrischen Produkts. Das Keilprodukt ist der Bivektorteil und ist dual zum Kreuzprodukt der Vektoralgebra. (Wir müssen den Dual verwenden, um ihn in einen anderen Vektor umzuwandeln, weil die Vektoralgebra mit Bivektoren nicht umgehen kann. Dies funktioniert jedoch nicht perfekt, weil es unter Spiegelungen falsch transformiert - dh das Kreuzprodukt ergibt einen 'Pseudovektor', keinen Pseudovektoren sind eigentlich Bivektoren.) Somit sind beide Produkte aus der Vektoralgebra in einem einzigen Produkt der geometrischen Algebra vereint und entsprechen dem Auffinden der „realen“ und „imaginären“ Komponenten eines Spinors.

Die komplexe Spaltenvektordarstellung von Spinoren ergibt sich aus dieser Feststellung$xy$wirkt wie die imaginäre Einheit$i$, So$\alpha(1)+\beta(xy)=\alpha+\beta i$Und$\gamma(yz)+\delta(xz)=(\gamma+\delta(xy))(yz)=(\gamma+\delta i)(yz)$so kann die Quaternion als zwei komplexe Koeffizienten eines Vektorraums über der Basis codiert werden$1, yz$.

In der geometrischen Algebra implementieren Spinoren die Rotation durch Konjugation. So drehen Sie einen Vektor$v$durch die durch den Spinor dargestellte Rotation$S$, wir finden$SvS^{-1}$. Wenn$S$hat dann eine von 1 verschiedene Norm$S^{-1}$hat die reziproke Norm, und sie heben sich auf. Aus diesem Grund entspricht ein (von Null verschiedenes) skalares Vielfaches eines Spinors der gleichen Drehung und wir können Spinoren ohne Probleme addieren. Wir verwenden normalerweise Einheitsspinoren (Rotoren genannt), um Rotationen darzustellen, damit wir eine eindeutige Darstellung haben, so wie wir normalerweise Einheitsvektoren verwenden, um Dinge wie Oberflächennormalen darzustellen, bei denen die Länge keine Rolle spielt. (Das heißt, als komplexer Spaltenvektor sind diese "einheitlich" und transformieren sich als SU (2).) Aber die Verwendung von Einheitsspinoren zur Darstellung von Drehungen bedeutet nicht, dass sie keine Elemente eines Vektorraums sind, genauso wenig wie die Verwendung von Einheitsvektoren tut. Es ist auch so, dass das Schild auch abbricht, also$-S$gibt die gleiche Drehung wie$S$, ist aber nicht derselbe Spinor.

Ich finde, dass die beste Möglichkeit, einen 3D-Spinor geometrisch zu visualisieren, der Winkel zwischen zwei ausgerichteten Reflexionsebenen ist. („Orientiert“ bedeutet, dass die Ebene eine gut definierte Vorder- und Rückseite hat.) Wenn die Ebenen identisch sind, heben sich die Reflexionen auf und die Identität ergibt sich. (dh bei parallelen Vektoren erhalten wir einen reinen Skalar 1.) Wenn Sie eine Ebene relativ zur anderen drehen, ist das Ergebnis eine Drehung um den doppelten Winkel zwischen den Ebenen um die Achse, entlang der sich die Ebenen schneiden. Wenn der Winkel zwischen den Ebenen 180 Grad erreicht, sind die Ebenen parallel, aber mit Normalen in entgegengesetzten Richtungen. Auch hier heben sich die Reflexionen auf, also stellt dies eine 360-Grad-Drehung dar, aber das ist nicht derselbe Spinor! Der 180-Grad-Winkel bedeutet, dass eine Ebene das Negativ der anderen ist. Wenn Sie die Reflexionsebenen weiter drehen, schließlich entspricht ein 360-Grad-Winkel zwischen Reflexionen einer 720-Grad-Drehung, und wir haben wieder Identität. Es ist nicht wahr, dass die Drehung eines Spinors um 360 Grad das entgegengesetzte Vorzeichen ergibt, und Sie müssen sich um 720 Grad drehen, um zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Was passiert ist, dass das Drehen des Spinors um einen Winkel den Wert erhöhtentsprechende Drehung um den doppelten Winkel, so dass das Drehen eines Spinors um 180 Grad den Spinor negiert , aber die Drehung genau umdreht, und das Drehen des Spinors um 360 Grad entspricht einer Drehung von 720 Grad. Der Spinor ist nicht die Rotation – es ist der Winkel zwischen dem Paar von (orientierten) Reflexionsebenen, aus denen er besteht.

Spinoren haben also eine vollkommen verständliche geometrische Interpretation.

Lassen Sie mich von DanielCs Post abholen. Die Idee, dass eine Spaltenmatrix ein Gruppenelement darstellen könnte, findet sich auch in jeder regulären Darstellung einer endlichen Gruppe. Betrachten wir zB die Permutationsgruppe$S_{n}$. Wir können jedes der beliebig beschriften$n!$Permutationen$p_{j} \in S_{n}$mit einer Nummer$j \in [1,n!]\cap{\mathbb{N}}$. Die Reihenfolge, die die Gruppenelemente auf diese Weise erhalten, hat keine Bedeutung. Jede Bestellung reicht. Die reguläre Darstellung ist dann gegeben durch$n! \times n!$Repräsentationsmatrizen und jedes Gruppenelement$p_{j}$wird auch vertreten durch a$n! \times 1$Matrix${\mathbf{p}}^{(j)}$, deren Einträge sind$[\,{\mathbf{p}}^{(j)}\,]_{k} = \delta_{kj}$. Das heißt, alle Einträge nehmen den Wert an$0$außer der online$j$, die den Wert annimmt$1$. Die quadratische Matrix, die ein Gruppenelement darstellt$p_{j}$würde nur darstellen$p_{j}$nach dem Gruppenautomorphismus:$T_{p_{j}}: q\in S_{n} \rightarrow T_{p_{j}}(q) = p_{j} \circ q \in S_{n}$. Wir könnten die anrufen$n! \times 1$Spaltenmatrizen${\mathbf{p}}^{(j)}$"Spaltenvektoren" und sie würden einen "Vektorraum" aufspannen$(V,{\mathbb{K}})$über irgendein Zahlenfeld${\mathbb{K}}$das könnte sein${\mathbb{R}}$oder${\mathbb{C}}$. Die Gruppe$S_{n}$wäre dann eine endliche diskrete Teilmenge (von$n!$Punkte) des Vektorraums$(V,{\mathbb{K}}) = ({\mathbb{K}}^{n!},{\mathbb{K}})$. Es würde eine orthonormale Basis für bilden$(V,{\mathbb{K}})$. Aber das ist nur oberflächlicher Unsinn, weil in der Darstellung eine Summe${\mathbf{p}} + {\mathbf{q}}$von zwei solchen$n! \times 1$Spaltenmatrizen${\mathbf{p}}$Und${\mathbf{q}}$würde durch Isomorphismus der Summe zweier Permutationen wie in Eq.1 of Symmetry, 13, 659 (2021) entsprechen.

Es ist sehr offensichtlich, dass diese Operation einfach nicht definiert ist, und dasselbe gilt für jede andere lineare Kombination$\sum_{j=1}^{n!} c_{j} {\mathbf{p}}^{(j)}$, mit$c_{j} \in {\mathbb{K}}, \forall j \in [1,n!] \cap{\mathbb{N}}$, das gehört nicht dazu$S_{n}$. Alle Punkte von${\mathbb{K}}^{n!}\backslash S_{n}$sind a priori bedeutungslos. Nur eine Operation wird durch die Axiome einer Gruppe definiert.

Aus dem gleichen Grund sollte in der Allgemeinen Relativitätstheorie die gekrümmte Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit nicht als in einen Vektorraum eingebettet betrachtet, sondern intrinsisch beschrieben werden. Die Punkte, die Sie hinzufügen müssten, um eine Erweiterung in Form eines Vektorraums zu erhalten, in den die gekrümmte Mannigfaltigkeit eingebettet werden könnte, existieren physikalisch nicht. Dieser Vektorraum müsste sein${\mathbb{R}}^{5}$, so wie die zweidimensionale Oberfläche einer Kugel darin eingebettet ist${\mathbb{R}}^{3}$. Die Punkte der Erweiterung zu${\mathbb{R}}^{5}$die nicht zur Raumzeit gehören, wären einfach physikalisch bedeutungslos.

Betrachten Sie nun den komplexen Vektorraum${\mathbb{C}}^{2}$und ein allgemeiner Punkt$(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in {\mathbb{C}}^{2}$davon. Bis etwas dagegen unternommen wird, hat ein solcher Punkt keine offensichtliche physikalische Bedeutung. Ein erster Schritt besteht darin, darauf hinzuweisen, dass die Spinoren$\psi = [\,\zeta_{1},\zeta_{2}\,]^{\top}$von SU(2), was als Rotation um den Ursprung in bezeichnet werden kann${\mathbb{R}}^{3}$, gehören zum Set${\mathscr{C}} = \{ (\zeta_{1},\zeta_{2})\parallel \zeta^{*}_{1}\zeta_{1} + \zeta^{*}_{2}\zeta_{2} = 1\} \subset {\mathbb{C}}^{2}$. Diese Spinoren sind Isometrien, also spezielle Elemente des Vektorraums$L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$. Sie sind geometrisch/physikalische Operatoren. Jede Rotation entspricht zwei Spinoren, die bis auf einen Faktor identisch sind$\pm 1$. Jede Drehung definiert daher zwei Punkte der gekrümmten Mannigfaltigkeit${\mathscr{C}}$, aber auch umgekehrt gilt: Jedes solche Punktepaar von${\mathscr{C}}$entspricht einer Drehung, dh einem Spinorpaar von SU(2), was aufgrund der bloßen Existenz dieser beiden möglichen Faktoren eine doppelte Überdeckung von SO(3) ist$\pm 1$. Der einfachste Weg, dies zu beweisen, ist die Identifizierung$(\zeta_{1},\zeta_{2})$mit dem Ausdruck für einen der Drehung entsprechenden Spinor$R(\alpha,\beta,\gamma)$Wo$(\alpha,\beta,\gamma)$sind seine Euler-Winkel, wie sie zB durch die erste Spalte der Matrix in Gl. 1.2.29 des Buches von J. Hladik. Deshalb${\mathscr{C}}\equiv$SE(2). Wir können die Mannigfaltigkeit betrachten${\mathscr{C}}$wie eingebettet in${\mathbb{C}}^{2}$. In Bezug auf reelle Zahlen ist die Rotationsgruppe, dargestellt durch${\mathscr{C}}$, ist dann eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, die in den vierdimensionalen Vektorraum eingebettet ist${\mathbb{C}}^{2} \equiv {\mathbb{R}}^{4}$. Die Situation ist völlig analog zu der der darin eingebetteten vierdimensionalen Raumzeit${\mathbb{R}}^{5}$wie oben beschrieben.

Es ist daher algebraisch möglich, Linearkombinationen zu berechnen$c_{1}\psi_{1} + c_{2}\psi_{2}$, Wo$(c_{1},c_{2}) \in {\mathbb{C}}^2$, oder Elemente von zu betrachten${\mathbb{C}}^{2} \backslash {\mathscr{C}}$aber dies ist rein formal und a priori frei von jeglicher geometrischer Bedeutung in Bezug auf irgendein Element von$L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$, was die natürliche Einbettung für die Rotationsgruppe SO(3) ist$\subset L({\mathbb{R}}^{3},{\mathbb{R}}^{3})$. Welche andere Art der Einbettung von SO(3) könnten wir uns sonst vorstellen$(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in {\mathbb{C}}^{2} \backslash {\mathscr{C}}$Bedeutung?

Dieses Argument ähnelt dem für$S_{n}$, aber diesmal ist die Gruppe eine Lie-Gruppe und daher keine diskrete endliche Menge mehr, sondern eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Die Frage ist knifflig, denn wir müssen die folgende Frage beantworten: "Können wir Überlagerungen verschiedener Spinoren des gleichen Ranges machen?". Mathematisch - ja, können wir, warum nicht?, Es ist nur eine Frage der Definition eines Spinorraums, aber physikalisch möglicherweise nicht, da die Energie eines Systems von der jeweiligen Spinkonfiguration abhängen kann, sodass verschiedene Spinoren zu verschiedenen Hamilton-Eigenvektoren gehören , und wir müssen Überlagerungen der gesamten zeitabhängigen Wellenfunktionen vornehmen und nicht nur ihrer Spinorteile, denke ich.

H. Ohanian (Am. J. Phys. 54 (6) 1986) versuchte, dem Spin eine "klassische" Bedeutung als Drehimpuls eines Spinorwellenpakets zu geben. Der wesentlichste Teil seiner Berechnungen ist das Ausblenden des Wellenpakets in Querrichtung. Aber dieses Verblassen ist nur eine vereinfachte (mathematische) Beschreibung des Einflusses der Partikelquelle und der umgebenden Materie. Ich kann mit Sicherheit sagen, dass der Spin eine Eigenschaft einer elementaren Erregung eines komplexen Systems (Welt) ist.