Warum sind Vektoren in der (12,12)(12,12)\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) Darstellung der Lorentzgruppe?

Ich habe gerade das ausgezeichnete Buch "Physics from Symmetry" von Jakob Schwichtenberg zu Ende gelesen.

Ich bleibe im Zweifel. In dem Buch beginnt er mit einer gruppentheoretischen Einführung und zeigt deutlich, wie wir die Lorentz-Gruppe als zwei Kopien der Gruppe sehen können$SU(2)$Gruppe und leitet die gesamte Lagrange-Funktion und Bewegungsgleichung aus den Lorentz-Darstellungen der Gruppe und den mathematischen Eigenschaften der Vektoren ab, auf die diese Transformationen einwirken. Diese Beschreibung ermöglicht es uns, Spin (Beabsichtigt als Summe der beiden Casimirs der beiden verschiedenen Kopien von$SU(2)$die die Lorentz-Gruppe bilden), um die Repräsentationen zu unterscheiden, und dass Spin sich als der tatsächliche physische Spin des Feldes herausstellt, das von Objekten beschrieben wird, die sich unter dieser Repräsentation transformieren, was ich übrigens extrem cool fand.

Er definiert 4-Vektoren als Objekte, die sich gemäß dem Spin 1 transformieren$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$Darstellung der Lorentz-Gruppe und das stimmt mit der Tatsache überein, dass Objekte, die durch Vektorfelder beschrieben werden (dh Objekte, die der Proca-Bewegungsgleichung gehorchen), Bosonen sind.

Aber sollte es nicht möglich sein, Bosonenfelder aus Objekten zu konstruieren, die sich entsprechend transformieren$(1,0)$Und$(0,1)$Vertretungen?

Ich habe ehrlich gesagt noch nicht versucht zu sehen, wie sie aussehen würden, aber ich sehe keinen Grund, warum nicht.

Sie hätten immer noch Spin 1, sie wären immer noch 4-Komponenten-Objekte, aber das würde links- und rechtshändige Versionen der Bosonen einführen (von denen ich nicht weiß, ob es akzeptabel ist, aber interessant sein könnte, wenn es so ist).

Gibt es etwas, das ich dabei vermisse? und wenn nicht, hat jemand versucht, Teilchen und ihre Wechselwirkungen durch Felder dieser Art zu beschreiben?