Quarkzusammensetzung des neutralen Pions

Der Grund dafür, dass die Vorzeichen von dem, was Sie erwarten, umgedreht werden, hat mit der Tatsache zu tun, dass sich das Antiquark unter Isospin-Rotationen in die entgegengesetzte Richtung transformiert. Wenn das gewöhnliche Quark-Dublett ein Spaltenvektor ist

$$q=(u, d)^T$$ und transformiert unter Drehungen als $$q\rightarrow U(R) q$$ das Antiquark-Dublett ist ein Zeilenvektor $$\bar{q}=(\bar{u}, \bar{d})\rightarrow \bar{q} U(R)^\dagger.$$

Aber$SU(2)$hat eine spezielle Eigenschaft, die als "pseudoreal" bezeichnet wird, sodass wir die Antiquarks als Spaltenvektor schreiben können, der sich normal transformiert

$$(-\bar{d}, \bar{u})^T\rightarrow U(R)(-\bar{d}, \bar{u})^T$$ Dies hängt mit der Pauli-Matrix zusammen $\sigma_2$wie ein Ladungskonjugationsoperator zu sein, wenn Sie damit vertraut sind.

Um die Isospin-Addition auf gewöhnliche Weise durchzuführen, benötigen wir sowohl Quark als auch Antiquark in derselben Darstellung, also das Singulett$|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle$ist in diesem Fall

$$u\bar{u}-d(-\bar{d})$$ also nehmen wir ein Pluszeichen auf.

Lassen Sie uns dies unter dem Gesichtspunkt verstehen, dass Pionen Pseudogoldstone-Bosonen sind. Angenommen für den Fall von$SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$Wir haben eine bilineare Form

$$\tag 0 L_{qq} = \bar{q}_{i}q_{i}, \quad i = u, d$$ Wie wir wissen, unten $\Lambda_{QCD}$Skalieren Sie die spontan brechende Symmetriegruppe auf die Diagonalgruppe $SU_{V}(2)$entsteht. Mit der üblichen Technik können wir Goldstone-Freiheitsgrade aus Quarkfeldern extrahieren, $$q_{i} \equiv (U\tilde{q})_{i}, \quad U \equiv \text{exp}\left[ i\gamma_{5}\frac{\epsilon_{a}t_{a}}{f_{\pi}}\right],$$ Wo $t_{a}$sind Pauli-Matrizen und $\epsilon_{a}$sind reellwertige koordinatenabhängige Parameter und ersetzen dann bilineare Formen durch VEVs: $$\tag 1 \bar{\tilde{q}}_{i}\tilde{q}_{j} \to V\delta_{ij}, \quad \bar{\tilde{q}}_{i}\gamma_{5}\tilde{q}_{j} \to 0$$ Beachten Sie, dass $\epsilon_{a}t_{a}$kann unter Verwendung einer expliziten Form von Pauli-Matrizen in einer Form parametrisiert werden $$\tag 2 \epsilon_{a}t_{a} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}} & \pi^{-} \\ \pi^{+} & -\frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},$$ Wo $\pi^{\pm} \equiv \epsilon_{1} \pm i\epsilon_{2}$. Wie wir sehen, erhalten wir explizit einen neutralen Freiheitsgrad, $\pi^{0}$, und zwei aufgeladen, $\pi^{\pm}$. Lassen Sie uns nun die Ein-Pion-Übergangsamplitude aus berechnen $(0)$, $$\langle 0 | \bar{q}_{i}q_{i}|\pi^{0}\rangle,$$ durch die Nutzung $(1)$Und $(2)$. Das bekommen wir sofort $$\langle 0 | \bar{q}_{i}q_{i}|\pi^{0}\rangle \equiv \frac{i}{\sqrt{2}f_{\pi}}\langle 0|\bar{\tilde{q}}_{i}t_{3}^{ij}\tilde{q}_{j}\pi^{0}|\pi^{0}\rangle \simeq \frac{i}{\sqrt{2}f_{\pi}}\langle 0|\bar{\tilde{u}}\tilde{u}-\bar{\tilde{d}}d|0\rangle,$$ was sofort die Aussage gibt, dass das Pion eine Kombination von ist $uu, dd$mit dem Minuszeichen deswegen ist die Parametrisierung des Goldstone Freiheitsgrades im Falle von gebrochen $SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$Gruppe, nicht $U_{L}(2)\times U_{R}(2)$. Die Kombination mit dem „Plus“-Zeichen entspricht der Parametrierung von $U(1)$Gruppe. Wie Sie wissen, ist dies der Fall $\eta$Meson für $SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$Gruppe und $\eta{'}$Meson für $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$Gruppe. Natürlich kommen diese Kombinationen in der Natur vor.