Welche Symmetrie hat das Pion-Triplett (π−,π0,π+π−,π0,π+\pi^{-}, \pi^{0}, \pi^{+})?

$\newcommand{\BK}[3]{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{#3}} \newcommand{\BKB}[3]{\mathbf{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{\boldsymbol{#3}}}} \newcommand{\FR}[2]{{\textstyle \frac{#1}{#2}}} \newcommand{\BoldExp}[2]{{#1}^{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\CMRR}[2] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\MM}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2\\ #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\MMM}[9] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9 \\ \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRRR}[4] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRR}[3] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCC}[2] { \begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCC}[3] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCCC}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\OSS}[1] {\overset{\boldsymbol{\sim}}{#1}} \newcommand{\BoldSub}[2]{{#1}_{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\OSB}[1] {\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{#1}}$

Diese Pionen sind Mesonen, zusammengesetzte Teilchen eines Quarks$\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace}$und ein Antiquark$\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace}$:

$$\begin{equation} \begin{array}{cccccccc} &\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace} \!\!\!\!\!&\boldsymbol{\otimes}& \!\!\!\!\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace} & \!\!\boldsymbol{=}\!\! & \boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\rbrace}& \!\!\!\!\boldsymbol{\oplus}\!\!&\boldsymbol{\lbrace}\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+}\boldsymbol{\rbrace} & \\ & \boldsymbol{2}\!\!\!\!\! & \boldsymbol{\otimes} & \!\!\!\!\OSB{\boldsymbol{2}} & \!\!\boldsymbol{=}\!\!&\boldsymbol{1}&\!\!\!\!\boldsymbol{\oplus}\!\!&\boldsymbol{3}& \end{array} \tag{01}\label{eq01} \end{equation}$$ $$\begin{align} &\left\{ \boldsymbol{\omega} = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \right)\hphantom{=\,}\right\} \quad \,\text{the singlet }\boldsymbol{1} \tag{02.1}\label{eq02.1}\\ &\left. \begin{cases} \BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-} =\boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}} \\ \BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0} =\sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}-\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \right)\\ \BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+} =\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}} \end{cases}\right\}\quad \text{the triplet }\boldsymbol{3} \tag{02.2}\label{eq02.2} \end{align}$$ Die Unterräume$\;\boldsymbol{1},\boldsymbol{3}\;$sind invariant unter der Isospingruppe$\;SU(2)$.

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BEARBEITEN

antwortet auf einen Kommentar des OP-Inhabers:

Diese Erklärung ist in Ordnung. Aber ich habe immer noch ein Rätsel. Während die drei Pionen ($\pi^{-}, \pi^{0}, \pi^{+}$) einen haben$SU(2)$Symmetrie, warum haben die drei Quarks ($u,d,s$) einen haben$SU(3)$[nicht$SU(2)$] Symmetrie? Allgemeiner gesagt: Woher wissen wir bei drei ähnlichen Teilchen, ob sie eine haben?$SU(2)$Symmetrie oder ein$SU(3)$Symmetrie?

Wir dürfen die Zahl nicht verwechseln$\;n\;$der Symmetriegruppe$\;SU(n)\;$mit der Nummer$\;m\;$des Resultats$\;m-$Plets (Singlets, Doublets, Drillings, ... Nonets, etc).

In den folgenden drei Beispielen wird die Zahl$\;n\;$der Symmetriegruppe$\;SU(n)\;$ist die Zahl der$\;n\;$unabhängig$\;n-$Dimensionssysteme, die wir zu einem zusammengesetzten System zusammengefügt haben.

$\color{blue}{\textbf{Example A :}}$Wenn wir ein Teilchen zusammensetzen$\;\alpha\;$des Spindrehimpulses$\;j_{\alpha}=\frac12\;$mit einem Partikel$\;\beta\;$des Spindrehimpulses$\;j_{\beta}=\frac12\;$dann ist das resultierende Multiplett ein Singulett des Drehimpulses$\;j_{1}=0\;$und ein Triplett des Drehimpulses$\;j_{2}=1\;$

$$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{2}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \tag{ed-01}\label{eqed-01} \end{equation}$$ Lassen Sie nun Folgendes gelten$\;SU(2)\;$Transformationen der Systeme$\;\alpha,\beta\;$(Partikel). $$\begin{align} ^{\bf 2}U_{\bf \alpha} & = \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}}{h_{\bf \alpha}}{\vphantom{h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}_{\bf a} \,,\quad g_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}\boldsymbol{+}h_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}=1 \tag{ed-02a}\label{eqed-02a}\\ ^{\bf 2}U_{\bf \beta} & = \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \beta}}{h_{\bf \beta}}{\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}_{\bf b} \,,\quad g_{\bf \beta}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}\boldsymbol{+}h_{\bf \beta}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}=1 \tag{ed-02b}\label{eqed-02b} \end{align}$$ Im Verbundsystem ist dies a$\;SU(4)\;$Transformation, das Produkt der beiden oben

$$\begin{equation} ^{\bf 4}U_{ f} = \left(^{\bf 2}U_{\bf \alpha}\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 2}U_{\bf \beta}\right) = \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}}{h_{\bf \alpha}}{\vphantom{h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}}_{\bf a}\!\!\! \boldsymbol{\otimes} \MM{\hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \beta}}{h_{\bf \beta}}{\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}{g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta}}_{\bf b}\!\!\! = \begin{bmatrix} \hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}h_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & h_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} \\ \boldsymbol{-}g_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}g_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}h_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & h_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} \\ \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g_{\bf \beta} & g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h_{\bf \beta} \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & \boldsymbol{-}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}h^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} & g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \alpha}g^{\boldsymbol{*}}_{\bf \beta} \end{bmatrix}_{\bf e} \tag{ed-03}\label{eqed-03} \end{equation}$$

Aber die$\;SU(2)\;$Transformationen ein$\eqref{eqed-02a}$,$\eqref{eqed-02b}$Drehungen im realen Raum darstellen$\;\mathbb{R}^{3}\;$worin beide Teilchen leben, also müssen sie identisch sein (wir würden kein System anders drehen als das andere)

$$\begin{equation} ^{\bf 2}U_{\bf \alpha} =\,^{\bf 2}U_{\bf \beta}=\, ^{\bf 2}U = \MM{\:\:g}{h}{\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}}{\:\:g^{\boldsymbol{*}}} \,,\quad gg^{\boldsymbol{*}}\boldsymbol{+}hh^{\boldsymbol{*}}=1 \tag{ed-04}\label{eqed-04} \end{equation}$$ so dass $\eqref{eqed-03}$Erträge $$\begin{equation} ^{\bf 4}U_{ f} = \left(^{\bf 2}U_{\bf \alpha}\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 2}U_{\bf \beta}\right) =\left(^{\bf 2}U\right)^{\boldsymbol{\otimes}2} = \begin{bmatrix} \:g^{2} & \:\:gh & \:hg & \!\!\!h^{2} \\ \boldsymbol{-}gh^{\boldsymbol{*}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}gg^{\boldsymbol{*}} & \boldsymbol{-}hh^{\boldsymbol{*}} & hg^{\boldsymbol{*}}\\ \boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}g & \,\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}h & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{\boldsymbol{*}}g & g^{\boldsymbol{*}}h \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}h^{\boldsymbol{*}2} & \:\:\boldsymbol{-}h^{\boldsymbol{*}}g^{\boldsymbol{*}} & \:\:\boldsymbol{-}g^{\boldsymbol{*}}h^{\boldsymbol{*}} & g^{\boldsymbol{*}2} \end{bmatrix}_{\bf e} \tag{ed-05}\label{eqed-05} \end{equation}$$

Diese Matrix ausgedrückt in der Basis der irreduziblen direkten Summe$\eqref{eqed-01}$Ist

$$\begin{equation} ^{\bf 4}\OSS{U}_{ f}= \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} \:\: 1 \:\: &\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&g^{2}& \sqrt{2} g h & h^{2} \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& -\sqrt{2} g h^{\boldsymbol{*}} & \left(g g^{\boldsymbol{*}}-h h^{\boldsymbol{*}}\right) & \sqrt{2} g^{\boldsymbol{*}} h \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& \left(h^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} & - \sqrt{2}g^{\boldsymbol{*}} h^{\boldsymbol{*}} & \left(g^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} \end{array} \end{bmatrix}_{\:\mathbf{f}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}&\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}& \rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex} &\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}\\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}} & \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & & \end{array} \end{bmatrix}_{\:\mathbf{f}} \tag{ed-06}\label{eqed-06} \end{equation}$$ Wo$\:^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}\:$Und$\:^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}\:$sind spezielle unitäre Matrizen in den Räumen des Singuletts bzw. des Tripletts gegeben durch $$\begin{equation} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \quad \in SU(1)\equiv \{1\} \tag{ed-07}\label{eqed-07} \end{equation}$$

$$\begin{equation} ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}= \begin{bmatrix} g^{2}& \sqrt{2} g h & h^{2} \rule [-3ex]{0pt}{6ex}\\ -\sqrt{2} g h^{\boldsymbol{*}} & \left(g g^{\boldsymbol{*}}-h h^{\boldsymbol{*}}\right) & \sqrt{2} g^{\boldsymbol{*}} h \rule [-3ex]{0pt}{6ex}\\ \left(h^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} & - \sqrt{2}g^{\boldsymbol{*}} h^{\boldsymbol{*}} & \left(g^{\boldsymbol{*}}\right)^{2} \rule [-3ex]{0pt}{6ex} \end{bmatrix} \quad \in SU(3) \tag{ed-08}\label{eqed-08} \end{equation}$$ Wenn wir also die anwenden$\;SU(2)\;$Transformation$\:^{\bf 2}U\:$von $\eqref{eqed-04}$auf beiden Räumen im Produkt der linken Seite von $\eqref{eqed-01}$dann bleiben die Räume der Terme der direkten Summe der rechten Seite derselben Gleichung unveränderlich, das Singulett $\eqref{eq02.1}$unveränderlich unter$\;SU(1)\;$(genauer unverändert) und das Triplett $\eqref{eq02.2}$unter transformiert$\;SU(3)\;$in seinem unveränderlichen Raum verbleibt.

Wir sagen, dass die Symmetriegruppe ist$\;SU(2)$, NICHT$\;SU(1)\;$oder$\;SU(3)\;$der resultierenden Multipletts.

Referenzlink : Gesamtspin von zwei Spin-1/2-Partikeln .

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$\color{blue}{\textbf{Example B :}}$Das Quarkmodell von Baryonen bestehend aus drei Quarks. Angenommen, wir kennen nur die Existenz von drei Quarks:$\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{d}$Und$\boldsymbol{s}$. Bei voller Symmetrie (gleiche Masse) sind dies die Grundzustände, let

$$\begin{equation} \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{ed-09}\label{eqed-09} \end{equation}$$ eines dreidimensionalen komplexen Hilbert-Raums von Quarks, sagen wir$\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$. Ein Quark$\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$wird in Bezug auf diese Grundzustände ausgedrückt als $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}=\xi_1\boldsymbol{u}+\xi_2\boldsymbol{d}+\xi_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \qquad \xi_1,\xi_2,\xi_3 \in \mathbb{C} \tag{ed-10}\label{eqed-10} \end{equation}$$ Nehmen wir 2 weitere Quarks, um aus 3 Quarks Baryonen zu konstruieren $$\begin{equation} \boldsymbol{\eta}=\eta_1\boldsymbol{u}+\eta_2\boldsymbol{d}+\eta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3 \end{bmatrix} \:, \qquad \boldsymbol{\zeta}=\zeta_1\boldsymbol{u}+\zeta_2\boldsymbol{d}+\zeta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \zeta_1\\ \zeta_2\\ \zeta_3 \end{bmatrix} \tag{ed-11}\label{eqed-11} \end{equation}$$ Ein Baryonenstaat$\:T\:$im Produktbereich $$\begin{equation} \mathbf{B}=\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}=\mathbb{C}^{\boldsymbol{27}} \tag{ed-12}\label{eqed-12} \end{equation}$$ ist das Produkt der Zustände von über 3 Quarks $$\begin{equation} T=\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\eta}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\zeta} \tag{ed-13}\label{eqed-13} \end{equation}$$ Das Endergebnis einer vollständigen Analyse ist $$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}= \boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{10}\boldsymbol{\oplus} \boldsymbol{8}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{8} \tag{ed-14}\label{eqed-14} \end{equation}$$ das heißt, der Zustandsraum eines Baryons ist die direkte Summe eines Singuletts$\;\boldsymbol{1}$, ein Dekuplett$\;\boldsymbol{10}$, ein gemischtes symmetrisches Oktett$\;\boldsymbol{8'}$und ein gemischtes antisymmetrisches Oktett$\;\boldsymbol{8}$.

Bewerben Sie sich jetzt a$\;SU(3)\;$Transformation$\;^{\bf 3}U\;$im 3-dimensionalen Raum$\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$ergibt ein$\;SU(27)\;$Transformation$\;^{\bf 27}U\;$im 27-dimensionalen Raum$\;\mathbf{B}\;$der Gleichung$\eqref{eqed-12}$

$$\begin{equation} ^{\bf 27}U = \left(^{\bf 3}U\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 3}U\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\bf 3}U\right) =\left(^{\bf 3}U\right)^{\boldsymbol{\otimes}3} \tag{ed-15}\label{eqed-15} \end{equation}$$ Der Raum von jedem$\;m-$plet bleibt dabei invariant und ein Zustand$\;m-$plet wird unter a transformiert$\;SU(m)\;$Verwandlung, wo$\;m=1,10,8,8$. Aber

Wir sagen, dass die Symmetriegruppe ist$\;SU(3)$, NICHT$\;SU(1)\;$oder$\;SU(10)\;$oder$\;SU(8)\;$der resultierenden Multipletts.

Referenzlink: Symmetrie in Bezug auf Matrizen .

Auf Drängen von @rob hier die kurze Antwort:

Isospin SU(2) hat eine Dublett-Darstellung, (u,d); eine Triplettdarstellung, die 3 πs; eine Isoquartett-Darstellung, die 4 Δs; und so weiter... Das kennst du schon vom Drehimpuls, denn SU(2) ~ SO(3) ist auch die Gruppe der Rotationen/Drehimpulse, außer hier im Isoraum, einem abstrakten Begriffsraum: Die Spindubletts, Spin 1/2, entsprechen hier Isodoubletten, u,d Quarks. Die Spintripletts, Spin 1, entsprechen wie 3-Vektoren den Isotripletts, den Pionen. Die Spinquartette, Spin 3/2, entsprechen den vier Δ-Baryonen usw. Alle SU(2)-Irreps sind real (in einem leicht technischen Sinne ... sogar die Spinoren).

Nun, anders als SU(2), hat Flavor SU(3) eine wirklich komplexe Darstellung, ein Tripel (u,d,s); eine echte Oktettdarstellung; ein komplexes Dekuplett usw.

Nun betrachten Sie ein echtes Triplett von Pionen, also einen echten 3er-Vektor. Sie wissen, dass sich dieser Vektor unter SO(3) ~ SU(2) transformiert, genau wie Rotationen von reellen Vektoren, also ist die Gruppe der Isospin SU(2), wie angegeben.

Wenn es jedoch ein Spinor wäre , stattdessen ein komplexes Triplett, müsste es sich unter einer SU(3) transformieren: Sie könnten die Anzahl der unabhängigen Transformationen seiner Komponenten nicht auf SO(3) beschränken, und Sie würden stecken bleiben mit SU(3) acht unabhängige Transformationsrichtungen.

Dies diktiert SU(3) für ein komplexes Triplett von Quarks (u,d,s); obwohl die Logik historisch gesehen rückwärts ging: Das komplexe Triplett wurde durch die fundamentale Darstellung des Flavors SU(3) vorgeschlagen, abgeleitet durch das echte Meson-Oktett!

• Falls Sie von dem Komplex ratlos waren$\pi^{\pm}\equiv (\pi^1\pm i\pi^2)/\sqrt{2}$, dies ist nur die sphärische Vektorumschreibung der kartesischen Komponenten$\pi^1,\pi^2$, also gruppentheoretisch ist das Pion immer noch ein echtes Triplett.

$\newcommand{\BK}[3]{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{#3}} \newcommand{\BKB}[3]{\mathbf{\left|{#1},{#2}\right\rangle_{\boldsymbol{#3}}}} \newcommand{\FR}[2]{{\textstyle \frac{#1}{#2}}} \newcommand{\BoldExp}[2]{{#1}^{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\CMRR}[2] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\MM}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2\\ #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\MMM}[9] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9 \\ \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRRR}[4] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\CMRRR}[3] { \begin{bmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCC}[2] { \begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCC}[3] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 \end{bmatrix} } \newcommand{\RMCCCC}[4] { \begin{bmatrix} #1 & #2 & #3 & #4 \end{bmatrix} } \newcommand{\OSS}[1] {\overset{\boldsymbol{\sim}}{#1}} \newcommand{\BoldSub}[2]{{#1}_{\boldsymbol{#2}}} \newcommand{\OSB}[1] {\overset{\boldsymbol{-\!\!\!-}}{#1}}$

$\color{blue}{\textbf{Example C :}}$Das Quarkmodell von Mesonen bestehend aus zwei Quarks (relevant für die Fragestellung). Angenommen, wir kennen nur die Existenz von zwei Quarks:$\boldsymbol{u}$Und$\boldsymbol{d}$. Bei voller Symmetrie sind dies die Grundzustände, let

$$\begin{equation} \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} \:1\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:0\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} \:0\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:1\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{ed-16}\label{eqed-16} \end{equation}$$ eines zweidimensionalen komplexen Hilbert-Raums von Quarks, sagen wir $\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace}=\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{2}}$. Ein Quark $\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$wird in Bezug auf diese Grundzustände ausgedrückt als $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}=\xi_u\boldsymbol{u}+\xi_d\boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} \:\xi_u\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:\xi_d\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \qquad \xi_u,\xi_d \in \mathbb{C} \tag{ed-17}\label{eqed-17} \end{equation}$$ Für einen Quark $\boldsymbol{\zeta} \in \mathbf{Q}$ $$\begin{equation} \boldsymbol{\zeta}=\zeta_u\boldsymbol{u}+\zeta_d\boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} \:\zeta_u\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:\zeta_d\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{ed-18}\label{eqed-18} \end{equation}$$ das jeweilige Antiquark $\overline{\boldsymbol{\zeta}}$wird durch die komplex Konjugierten der Koordinaten ausgedrückt $$\begin{equation} \overline{\boldsymbol{\zeta}}=\overline{\zeta}_u \OSB{\boldsymbol{u}}+\overline{\zeta}_d\overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} \:\overline{\zeta}_u\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:\overline{\zeta}_d\:\vphantom{\dfrac12}\\ \end{bmatrix} \tag{ed-19}\label{eqed-19} \end{equation}$$ in Bezug auf die Primärzustände
$$\begin{equation} \OSB{\boldsymbol{u}}= \begin{bmatrix} \:1\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:0\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \qquad \overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} \:0\:\vphantom{\dfrac12}\\ \:1\:\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{ed-20}\label{eqed-20} \end{equation}$$ die Antiquare von $\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}$bzw. Die Antiquarks gehören zu einem anderen Raum, dem Raum der Antiquarks $\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace}=\overline{\mathbf{Q}}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{2}}$.

Da Mesonen hier Quark-Antiquark-Paare sind, gehören sie zum Produktraum

$$\begin{equation} \mathbf{M}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\overline{\mathbf{Q}}\: \left(\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{4}}\right) \tag{ed-21}\label{eqed-21} \end{equation}$$ Verwendung der Ausdrücke $\eqref{eqed-17}$Und $\eqref{eqed-19}$des Quarks $\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$und das Antiquark $\overline{\boldsymbol{\zeta}} \in \overline{\mathbf{Q}}$bzw. haben wir für den Produkt-Meson-Zustand $\mathrm{X} \in \mathbf{M}$

$$\begin{equation} \mathrm{X}=\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{\zeta}}=\xi_u\overline{\eta}_u \left(\boldsymbol{u}\boldsymbol{\otimes}\OSB{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_u\overline{\zeta}_d \left( \boldsymbol{u}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{d}}\right)+\xi_d\overline{\zeta}_u\left( \boldsymbol{d}\boldsymbol{\otimes}\OSB{\boldsymbol{u}}\right)+\xi_d\overline{\zeta}_d\left( \boldsymbol{d}\boldsymbol{\otimes}\overline{\boldsymbol{d}}\right) \nonumber \tag{ed-22}\label{eqed-22} \end{equation}$$ Um die Ausdrücke zu vereinfachen, wird das Produktsymbol $"\boldsymbol{\otimes}"$entfällt und so $$\begin{equation} \mathrm{X}=\boldsymbol{\xi}\overline{\boldsymbol{\zeta}}=\xi_u\overline{\zeta}_u \boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}+\xi_u\overline{\zeta}_d \boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}}+\xi_d\overline{\zeta}_u \boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}}+\xi_d\overline{\zeta}_d \boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \tag{ed-23}\label{eqed-23} \end{equation}$$ oder in Form einer einspaltigen Matrix $$\begin{equation} \mathrm{X}= \begin{bmatrix} \begin{array}{rrrr} \xi_u\overline{\zeta}_u\vphantom{\dfrac12}\\ \xi_u\overline{\zeta}_d\vphantom{\dfrac12}\\ \xi_d\overline{\zeta}_u\vphantom{\dfrac12}\\ \xi_d\overline{\zeta}_d\vphantom{\dfrac12} \end{array} \end{bmatrix}_{\mathbf{e}} \tag{ed-24}\label{eqed-24} \end{equation}$$ Diese Darstellung bezieht sich auf die Basis
$$\begin{equation} \boldsymbol{e_1}=\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\,, \quad \boldsymbol{e_2}=\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\,, \quad \boldsymbol{e_3}=\boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}\,, \quad \boldsymbol{e_4}=\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{ed-25}\label{eqed-25} \end{equation}$$ Das Endergebnis einer vollständigen Analyse ist $$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes} \OSB{\boldsymbol{2}} \boldsymbol{=}\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \tag{ed-26}\label{eqed-26} \end{equation}$$ das heißt, der Zustandsraum eines Mesons ist die direkte Summe eines Singuletts $\;\boldsymbol{1}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\rbrace}$und ein Drilling $\;\boldsymbol{3}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+}\boldsymbol{\rbrace}$.

Wenn wir nun a anwenden$\;SU(2)\;$Verwandlung im Raum$\;\boldsymbol{2}=\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{u},\boldsymbol{d}\boldsymbol{\rbrace}=\mathbf{Q}$bezüglich der Basis dargestellt$\eqref{eqed-16}$dieses Raumes durch die Matrix

$$\begin{equation} ^{\boldsymbol{2}}U \equiv \begin{bmatrix} \:\:\:g\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & h \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}\overline{h} & \OSB{g}\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix}_{\mathbf{ud}}\;, \qquad g\OSB{g}+h\overline{h}=\vert g \vert ^{2} + \vert h \vert ^{2} = 1 \tag{ed-27}\label{eqed-27} \end{equation}$$ dann müssen wir uns im Raum bewerben $\OSB{\boldsymbol{2}}=\boldsymbol{\lbrace}\OSB{\boldsymbol{u}},\overline{\boldsymbol{d}}\boldsymbol{\rbrace}=\overline{\mathbf{Q}}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{2}}$sein komplexes Konjugat in Bezug auf die Basis dargestellt $\eqref{eqed-20}$dieses Raumes durch die Matrix $$\begin{equation} ^{\boldsymbol{2}}\OSB{U} \equiv \begin{bmatrix} \:\:\:\OSB{g}\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & \overline{h} \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}h & g\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix}_{\mathbf{\OSB{\boldsymbol{u}}\overline{\boldsymbol{d}}}} \tag{ed-28}\label{eqed-28} \end{equation}$$
Im Verbundsystem $\;\boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes} \OSB{\boldsymbol{2}}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\overline{\mathbf{Q}}\;$das ist ein $\;SU(4)\;$Transformation, das Produkt dieser Transformationen oben, dargestellt in Bezug auf die Basis $\eqref{eqed-25}$dieses Raumes durch die Matrix $$\begin{equation} ^{\boldsymbol{4}}U=\left(^{\boldsymbol{2}}U\vphantom{^{\boldsymbol{2}}\OSB{U}}\right)\boldsymbol{\otimes}\left(^{\boldsymbol{2}}\OSB{U}\right) = \begin{bmatrix} \:\:\:g\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & h \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}\overline{h} & \OSB{g}\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix} \boldsymbol{\otimes} \begin{bmatrix} \:\:\:\OSB{g}\hphantom{\boldsymbol{-}}\vphantom{\dfrac12} & \overline{h} \vphantom{\dfrac12}\:\:\:\\ \!\!\!\!\!\boldsymbol{-}h & g\vphantom{\dfrac12}\:\: \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \:g\OSB{g} & \:\:g\overline{h} & \:h\OSB{g} & \!\!\!h\overline{h} \\ \boldsymbol{-}gh & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{2} & \boldsymbol{-}h^{2} & hg\\ \boldsymbol{-}\overline{h}\OSB{g} & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\OSB{g}^{2} & \OSB{g}\overline{h} \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}\overline{h}h & \:\:\boldsymbol{-}\overline{h}g & \:-\OSB{g}h & \:\OSB{g}g \end{bmatrix}_{\bf e} \tag{ed-29}\label{eqed-29} \end{equation}$$ Wir wechseln von der alten Basis $\;\boldsymbol{\lbrace e_k\rbrace}$, siehe Gleichung $\eqref{eqed-25}$, zu diesem neuen

$$\begin{align} \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 1} & =\sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_4} \right) = \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{u}\OSB{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{d}\overline{\boldsymbol{d}} \right)=\boldsymbol{\omega} \tag{ed-30.1}\label{eqed-30.1}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 2} & =\boldsymbol{e_2} =\boldsymbol{u}\overline{\boldsymbol{d}} =\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+} \tag{ed-30.2}\label{eqed-30.2}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 3} & =\sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\boldsymbol{e_1}-\boldsymbol{e_4} \right)=\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0} \tag{ed-30.3}\label{eqed-30.3}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 4} & =\boldsymbol{e_3} =\boldsymbol{d}\OSB{\boldsymbol{u}} =\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-} \tag{ed-30.4}\label{eqed-30.4} \end{align}$$ Formal $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 1}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 3}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \OSS{\boldsymbol{e}}_{\bf 4}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & -\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_3}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_4}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} =\mathrm{K} \begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_3}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{e_4}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \tag{ed-31}\label{eqed-31} \end{equation}$$ Wo $\;\mathrm{K}\;$die folgende $\;4\times 4\;$reelle orthogonale Matrix $$\begin{equation} \mathrm{K} = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \tag{ed-32}\label{eqed-32} \end{equation}$$ mit Eigentum $$\begin{equation} \mathrm{K}^{\boldsymbol{-1}} = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}& \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 \end{bmatrix} =\mathrm{K}^{\boldsymbol{\top}} \tag{ed-33}\label{eqed-33} \end{equation}$$ Die Matrix $\;^{\boldsymbol{4}}U$, siehe Gleichung $\eqref{eqed-29}$, stellvertretend für die $\;SU(4)\;$Transformation in Bezug auf die Basis $\;\boldsymbol{\lbrace \boldsymbol{e}_k\rbrace}$hat in Bezug auf die neue Basis $\;\boldsymbol{\lbrace \OSS{\boldsymbol{e}}_k\rbrace}$, siehe Gleichungen $\eqref{eqed-30.1}$- $\eqref{eqed-30.4}$, das folgende Formular $$\begin{align} & ^{\boldsymbol{4}}\OSS{U}=\mathrm{K}\left(^{\boldsymbol{4}}U\right)\mathrm{K}^{\boldsymbol{-1}} \nonumber\\ & = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \:g\OSB{g} & \:\:g\overline{h} & \:h\OSB{g} & \!\!\!h\overline{h}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \boldsymbol{-}gh & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{2} & \boldsymbol{-}h^{2} & hg\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \boldsymbol{-}\overline{h}\OSB{g} & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\OSB{g}^{2} & \OSB{g}\overline{h}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \\ \hphantom{\boldsymbol{-}}\overline{h}h & \:\:\boldsymbol{-}\overline{h}g & \:-\OSB{g}h & \:\OSB{g}g\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}& \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 \end{bmatrix} \nonumber\\ & = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & 0 & 0 & \sqrt{\tfrac{1}{2}} \\ \boldsymbol{-}gh & \hphantom{\boldsymbol{-}}g^{2} & \boldsymbol{-}h^{2} & hg\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}\overline{h}h\right) & \sqrt{2}g\overline{h} & \sqrt{2}\OSB{g}h & \sqrt{\tfrac{1}{2}}\left(\overline{h}h\boldsymbol{-}g\OSB{g}\right) \\ \boldsymbol{-}\overline{h}\OSB{g} & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \hphantom{\boldsymbol{-}}\OSB{g}^{2} & \OSB{g}\overline{h}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 &\hphantom{\boldsymbol{-}} \sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}} 0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \hphantom{\boldsymbol{-}}1\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{\tfrac{1}{2}}& \hphantom{\boldsymbol{-}}0 & \boldsymbol{-}\sqrt{\tfrac{1}{2}} & \hphantom{\boldsymbol{-}}0 \end{bmatrix} \nonumber\\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & g^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}gh &\boldsymbol{-}h^{2}\vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}\\ 0 & \sqrt{2}g\overline{h} & \left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}h\overline{h}\right) & \sqrt{2}\OSB{g}h \\ 0 & \,\boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}\OSB{g}\overline{h} & \OSB{g}^{2} \vphantom{\sqrt{\tfrac{1}{2}}} \end{bmatrix}_{\OSS{\boldsymbol{e}}} \tag{ed-34}\label{eqed-34} \end{align}$$ So $$\begin{equation} ^{\bf 4}\OSS{U}= \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} \:\: 1 \:\: &\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&g^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}gh &\boldsymbol{-}h^{2} \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& \sqrt{2}g\overline{h} & \left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}h\overline{h}\right) & \sqrt{2}\OSB{g}h \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& \boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}\OSB{g}\overline{h} & \OSB{g}^{2} \end{array} \end{bmatrix}_{\OSS{\boldsymbol{e}}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{c|ccc} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}&\rule [0ex]{20pt}{0.0ex}&\rule [-2.5ex]{0pt}{6.0ex} \rule [0ex]{16pt}{0ex}& \rule [0ex]{16pt}{0ex}\\ \hline \rule [-3ex]{0pt}{6ex}&\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}& \rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex} &\rule [0.0ex]{50pt}{0.0ex}\\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}} & \\ \rule [-3ex]{0pt}{6ex}& & & \end{array} \end{bmatrix}_{\OSS{\boldsymbol{e}}} \tag{ed-35}\label{eqed-35} \end{equation}$$ Wo $\:^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}\:$Und $\:^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}\:$sind spezielle unitäre Matrizen in den Räumen des Singuletts $\;\boldsymbol{1}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\rbrace}$und des Tripletts $\;\boldsymbol{3}\equiv\boldsymbol{\lbrace}\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{-},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{0},\BoldExp{\boldsymbol{\pi}}{+}\boldsymbol{\rbrace}$jeweils gegeben durch $$\begin{equation} ^{\mathbf{1}}U_{\boldsymbol{\left[1\right]}}= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \quad \in SU(1)\equiv \{1\} \tag{ed-36}\label{eqed-36} \end{equation}$$

$$\begin{equation} ^{\mathbf{3}}U_{\boldsymbol{\left[2\right]}}= \begin{bmatrix} g^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}gh &\boldsymbol{-}h^{2}\vphantom{\sqrt{\dfrac{1}{2}}}\\ \sqrt{2}g\overline{h} & \left(g\OSB{g}\boldsymbol{-}h\overline{h}\right) & \sqrt{2}\OSB{g}h\vphantom{\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \\ \boldsymbol{-}\overline{h}^{2} & \boldsymbol{-}\sqrt{2}\OSB{g}\overline{h} & \OSB{g}^{2} \vphantom{\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \end{bmatrix} \quad \in SU(3) \tag{ed-37}\label{eqed-37} \end{equation}$$ Ergebnisse in jeder Hinsicht ähnlich denen in $\color{blue}{\textbf{Example A }}$, siehe Gleichungen (ed-06), (ed-07) und (ed-08).

Nochmals: Wir sagen, dass die Symmetriegruppe ist$\;SU(2)$, NICHT$\;SU(1)\;$oder$\;SU(3)\;$der resultierenden Multipletts.