Sowohl SU(3)-Flavour als auch SU(2)-Isospin sind ungefähre Symmetrien des Standardmodells bei niedrigen Energien. Betrachten wir die Physik unterhalb der Protonenmasse, wo wir über die Pionen und Kaonen sprechen können, die die Avatare dieser Symmetrien sind. Bei so niedrigen Energien macht es keinen Sinn, über die schweren Quarks (charm, bottom, top) zu sprechen, also bleiben wir bei den leichten Quarks: up, down, strange.

Geschmackssymmetrie

An der Grenze, wo die Quarkmassen identisch sind, sieht es so aus, als gäbe es nichts, was diese drei Quarks unterscheiden könnte. Aber warten Sie , Sie könnten argumentieren, die Quarks vom Down-Typ haben eine andere Ladung als die Quarks vom Up-Typ! Das stimmt, aber bei niedrigen Energien sind die Quarks alle in Mesonen eingeschlossen: Wir sehen also immer nur Quark-Anti-Quark-Paare und sind nicht empfindlich gegenüber den Ladungen der Bestandteile.

Also in der Grenze wo$m_u = m_d = m_s$, können wir von einer SU(3)-Symmetrie sprechen, die diese Quarks ineinander rotiert. Es stellt sich heraus, dass diese Geschmackssymmetrie es uns ermöglicht, die Eigenschaften von Pionen und Kaonen auf schöne Weise in Beziehung zu setzen. Sie können zum Beispiel die Zerfallskonstante eines Pions experimentell messen – etwas, das nicht aus der Störungstheorie berechnet werden kann – und dann die SU(3)-Flavour-Symmetrie aufrufen, um zu sagen, dass ein Kaon dieselbe Zerfallskonstante haben sollte.

Ungefähre Symmetrie

In Wirklichkeit sind die Zerfallskonstanten von Pion und Kaon nicht gleich. Dies liegt daran, dass die leichten Quarks in Wirklichkeit keine entarteten Massen und daher keine exakte SU(3)-Flavour-Symmetrie haben.

$m_u = 2.3$MeV

$m_d = 4.8$MeV

$m_s = 95$MeV.

Das bedeutet, dass die SU(3)-Flavor-Symmetrie durch die unterschiedlichen Quarkmassen gebrochen wird. Aber wir sehen an den Zahlenwerten, dass Up- und Down-Quarks fast die gleiche Masse haben. Somit gibt es fast eine SU(2)-Symmetrie, bei der Sie zwischen oben und unten rotieren. Wenn Sie ein Ergebnis haben, das in der Grenze wahr ist, wo diese SU(2)-Symmetrie exakt war, dann können Sie sagen, dass das Ergebnis bis zu Korrekturen dieser Größenordnung wahr ist$(m_u-m_d)$. Sie müssen dies in Form eines dimensionslosen Verhältnisses schreiben, normalerweise ist das Verhältnis in der Geschmacksphysik so etwas wie$(m_u-m_d)/\Lambda_\text{QCD}$. So würden wir schreiben:

$$(\text{actual result}) = (\text{result with exact isospin}) \times \left[1+ \mathcal O\left(\frac{m_u-m_d}{\Lambda_\text{QCD}}\right)\right]$$

(Machen Sie sich nicht zu viele Gedanken über die Verwendung von$\Lambda_\text{QCD}\approx m_{\text{proton}}$als schwere Waage. Die Ausdehnung liegt ungefähr bei diesem Wert, wenn Sie nach leichten Hadronen suchen.)

Dasselbe kann man über SU(3)-Flavor sagen, aber jetzt sehen wir, dass, weil das Strange-Quark mehr als eine Größenordnung schwerer ist als die Up/Down-Quarks, die Symmetrie zwischen Strange- und Lighter-Quarks schlechter ist. Was wir mit "schlechter" meinen, ist, dass jedes Ergebnis, das im Grenzwert der exakten SU(3)-Symmetrie wahr ist, durch etwas korrigiert wird, das wie folgt ist$(m_s - m_{u,d})/\Lambda_\text{QCD}$.

Beachten Sie, dass$(m_s - m_{u,d})/\Lambda_\text{QCD}$ist kein schlechter Expansionsparameter. Es ist also immer noch sinnvoll, SU(3)-Flavor als ungefähre Symmetrie zu verwenden. Aber Sie können sehen, dass der SU(2)-Isospin bei derselben Ordnung der Symmetriebrechung präziser ist.

Anmerkungen

Warum konzentrieren wir uns auf Isospin und nicht auf Flavour-Symmetrie?

Eine praktischere Antwort auf Ihre Frage könnte pädagogisch sein. Wenn Sie lernen, wie man ungefähre Symmetrien verwendet, um physikalische Vorhersagen zu extrahieren, ist es nützlich, mit der einfacheren SU(2)-Isospin-Symmetrie zu beginnen, da diese die gesamte physikalische Intuition codiert. SU(3) ist im Wesentlichen die gleiche Geschichte, aber mit mehr Generatoren und mehreren Breaking-Parametern. Wenn Sie also Physik lernen möchten, ist SU(2) oft ausreichend.

Wozu ist Geschmackssymmetrie gut?

Wir haben festgestellt, dass Quarks beschränkt sind, zumindest auf den Energieskalen, bei denen wir von SU(3)-Flavor-Symmetrie sprechen würden. Was nützt es in diesem Sinne, über Symmetrien der Quarks zu sprechen, wenn die Quarks alle in Hadronen eingeschlossen sind?

Der Grund ist "Addition von Drehimpuls". Nun, nicht wörtlich Drehimpuls, sondern die Kraft der Verwendung der Darstellungstheorie zur Zerlegung von Produktdarstellungen. Wir sagen, dass das Auf und Ab ein Isodublett bilden. Dies bedeutet, dass ein gebundener Zustand von zwei dieser Teilchen in einer Darstellung vorliegt, die in der Zerlegung des Produkts zweier SU(2)-Dubletts liegen muss. Wir wissen, dass dieses in ein Isotriplett und ein Isosingulett zerfällt (analog zum Wasserstoffatom!). In der Tat sind dies die Pionen und die$\eta$. ((Es gibt eine kleine Subtilität, weil die gebundenen Zustände Quark--Anti-Quark-Paare und keine Spin-Spin-Paare im Fall des Drehimpulses von Wasserstoff sind.))

Mit anderen Worten: Flavor-Symmetrie ist eine Möglichkeit, die Wechselwirkungen der aus den leichten Quarks bestehenden Hadronen auf der Grundlage der ungefähren Symmetrie der konstituierenden Quarks zu verstehen und zu klassifizieren. (Historisch wurde Isospin ursprünglich als eine Beziehung zwischen Protonen und Neutronen identifiziert, aber es ist identisch und wir müssen die historische Sichtweise nicht einnehmen.)

Ist der Geschmack nicht überall kaputt?

Wenn die ungefähre Flavour-Symmetrie etwas ist, das aus der grundlegenderen Teilchentheorie der Quarks stammt, dann gehen wir vielleicht zurück zu der Aussage, dass es keinen Sinn zu machen scheint, dass es eine Symmetrie in Bezug auf oben, unten und seltsam gibt, wenn diese unterschiedliche Ladungen haben. Mit anderen Worten, die Aromasymmetrie (Isospin) wird durch Elektromagnetismus gebrochen.

Tatsächlich liegt der Grund, warum die geladenen Pionen schwerer als das neutrale Pion sind, genau in der Korrektur ihrer Eigenenergie durch Elektromagnetismus. Da der Elektromagnetismus eine geringe Wechselwirkungsstärke hat, ist dies eine einigermaßen bescheidene Korrektur.

Woher kommt diese Symmetrie?

Eine Sache, über die Sie vielleicht auch nachdenken, ist, woher die Geschmackssymmetrie kommt. Flavor-Symmetrie ist eine Untergruppe der chiralen Symmetrie, die durch die Quarkmassen (Yukawa-Wechselwirkungen mit dem Higgs) und die elektroschwache Kraft (die links- und rechtshändige Teilchen unterschiedlich behandelt) explizit gebrochen wird. Chirale Symmetrie ist die Beobachtung, dass man die linkshändigen Quarks getrennt von den rechtshändigen Quarks untereinander drehen kann.

Diese Symmetrie wird spontan durch den gleichen Prozess gebrochen, der die elektroschwache Symmetrie bricht. Das Higgs tut dies und gibt den Quarks Masse. Die Massenterme verbinden ein linkschirales Quark mit einem rechtschiralen Quark, und daher müssen Rotationen zwischen den linkshändigen Quarks von Rotationen der rechtshändigen Quarks begleitet werden, um invariant zu bleiben:

$$m_q \bar q_L q_R \to m_Q \bar q_L U_L^\dagger U_R q_R$$

ist nur dann invariant$U_L = U_R$. Mit anderen Worten, die chirale Symmetrie wird spontan in die Diagonalgruppe gebrochen. (Kurz beiseite: Chirale Symmetrie wird durch Higgs gebrochen, aber auch bei niedrigen Energien durch QCD aus dem chiralen Kondensat,$\langle q\bar q\rangle$.) Die Restsymmetrie ist genau das, was wir SU(3)-Flavour nennen. Dass es ungefähr ist, ist wiederum ein Relikt, dass diese Symmetrie durch zwei Effekte explizit "um einen kleinen Betrag" gebrochen wird:

1. Die unterschiedlichen Massen der leichten Quarks

2. Der Elektromagnetismus, der Up-Quarks von Down/Strange-Quarks unterscheiden kann.

Wenn wir einen spontanen Bruch globaler Symmetrien haben, wissen wir, dass uns eine Theorie von Goldstone-Bosonen bleibt. Da die Symmetrie explizit gebrochen ist, sind diese Goldsteine ​​"Pseudo-Goldsteine", was praktisch bedeutet, dass sie eine kleine Masse haben (die ansonsten aufgrund der ungefähren Goldstone-Verschiebungssymmetrie vor großen Quantenkorrekturen geschützt ist).

Diese kleinen Massenzustände sind genau die leichten pseudoskalaren Mesonen. Wir wissen, dass die Wechselwirkungen von Goldstone-Bosonen durch das nichtlineare Sigma-Modell gegeben sind, und so können wir eine Theorie der Pion/Kaon-Wechselwirkungen in der SU(3)-Flavor-Grenze aufschreiben. Dies ist ziemlich bemerkenswert, wenn wir uns daran erinnern, dass dies gebundene Zustände unter der starken Kraft sind, die bei diesen Energien nicht störend ist.

Die anderen Quarks

Dies sollte auch eine Erklärung dafür liefern, warum wir nur von Flavor-Symmetrien zwischen leichten Quarks sprechen. Die schwereren Quarks sind schwerer als die starke Waage,$\Lambda_\text{QCD}$und die Symmetrie zwischen diesen Quarks und den leichteren Quarks ist sehr schlecht.