Warum gibt es kein Baryonen-Isospin-Singlet mit Spin 3/2?

Zuerst das Neutron$n$und das Proton$p$haben im Decuplet auch keine "aufgeregten Gegenstücke", oder?

Nun sind die beiden Multipletts völlig unterschiedlich. Einer hat acht$SU(3)_{\rm flavor}$Komponenten, der andere hat zehn. Es ist also eindeutig ungültig, eine Gruppe "Erregungen" der anderen zu nennen.

Da der Quarkgehalt (Ladung und Strangeness) gleich ist, sind die Namen$\Sigma^\pm$,$\Sigma^0$,$\Xi^-$, und$\Xi^0$aus dem Octuplet werden mit Sternchen wiederverwendet, um einige Komponenten des Decuplets darzustellen, die zufällig den gleichen Quark-Inhalt haben.

Aber es ist ein Zufall, dass sie den gleichen Quark-Gehalt haben: Sie verwandeln sich immer noch in völlig unterschiedliche Darstellungen der Flavour-Gruppe.

Der Quarkgehalt$uds$hat zwei Baryonen im Achtel, nämlich$\Sigma^0$und$\Lambda$. Es ist kein Zufall, dass es zwei davon gibt. Das liegt einfach daran, dass im Diagramm die 8 Komponenten nach ihren Gewichten, dh Eigenwerten der geschrieben sind$U(1)^2$maximale pendelnde Untergruppe von$SU(3)$. Und weil es entlang des Sechsecks zwangsläufig 6 Komponenten gibt, müssen die restlichen 2 in der Mitte liegen. Da die 8-dimensionale Darstellung die Adjungierte ist, entsprechen diese nichts anderem als den beiden Erzeugern der$U(1)^2$"Cartan-Torus" in der Lie-Algebra.

Auf der anderen Seite weist das Decuplet keine derartigen Entartungen auf. Die 10 Komponenten sind in Reihen organisiert$1+2+3+4$und es gibt nirgends eine Verdoppelung. Die Komponente mit der$uds$Quark-Inhalt wird einfach aufgerufen$\Sigma^{*0}$. Es könnte vielleicht heißen$\Lambda^*$auch – denn es ist wirklich keines von beidem. Aber es ist mathematisch garantiert, dass es nur eine Komponente des Dekupletts mit dem gibt$uds$Quark-Inhalt. Es wird durch die Gruppentheorie garantiert, durch die Zerlegung der Repräsentation von$SU(3)$unter dem$U(1)^2$Untergruppe (die Gewichte der Darstellungen).

Man kann sich vorstellen, wie die Darstellungen in Form von Tensoren aussehen. Die 8-dimensionale Darstellung ist die Adjungierte mit$3^2-1$Komponenten. Es ist wie der Tensor$T_{a\bar b}$außer dass wir drei Quarks haben, nicht ein Quark und ein Antiquark. Auch bei drei Quarks ist es möglich, den Antiindex zu ersetzen$\bar b$durch eine Antisymmetrie$cd$Paar. Diese Darstellung ist also ein Tensor$T_{acd}$welches ist$cd$-antisymmetrisch, aber wessen$acd$-Antisymmetrisierung (das ist die Spur) verschwindet.

Andererseits ist das Dekuplett ein symmetrischer Tensor$T_{acd}$. Sie sehen, dass der symmetrische Tensor alle Kombinationen von zulässt$u,d,s$, und wenn Sie angeben, wie viele$u$, wie viele$d$, wie viele$s$, wird die Komponente durch die Symmetrie des Tensors bestimmt. Die drei Ecken$uuu,ddd,sss$sind erlaubt.

Andererseits gilt im gemischten Symmetrie-Tensor$uuu,ddd,sss$sind wegen der Antisymmetrie in der verboten$cd$Indizes. Andererseits gibt es zwei unabhängige Komponenten$T_{uds}$und$T_{dsu}$. Die verbleibenden vier Permutationen werden durch die verschwindende Spur und die bestimmt$cd$Antisymmetrie.

Symmetrie und Statistik.

Die Quarks als Fermionen diktieren eine vollständig antisymmetrische Wellenfunktion der drei Bestandteile des Baryons. Die Farbwellenfunktion ist antisymmetrisch, also muss die kombinierte Spin&Flavor-Wellenfunktion symmetrisch sein.

Die Spin-1/2-Kombination (SU(3)-Oktett) ist von gemischter Symmetrie , ebenso wie die Flavour-Symmetrie des Baryon-Oktetts, mit dem Sie beginnen, sodass es sowohl seltsame Isospin-Singlets (Flavour antisymmetric, Λ ) als auch Tripletts (symmetric, Σ ).

Im Gegensatz dazu ist die Spin-3/2-Kombination (SU(3)-Dekuplett) spinsymmetrisch, also muss sie aromasymmetrisch sein: Jetzt hat sie Platz für das Isotriplett, aber keinen Platz für das seltsame Isosingulett, das Λ . All dies wird deutlich, wenn Sie sich die expliziten SU(6)-Wellenfunktionen 56 in Ihrem Text ansehen.