Kennzeichnung von Darstellungen mit Isospin und Hyperladung

Ich nehme an, Sie meinen mit Isospin einen schwachen Isospin, der eine exakte Eichsymmetrie des Standardmodells ist. Es gibt noch etwas anderes namens Flavor-Isospin, das eine ungefähre globale Symmetrie der starken Wechselwirkung ist. Außerdem ist dies eine lange Antwort, da ich Hintergrundinformationen und Beispiele beigefügt habe, die Sie möglicherweise benötigen oder nicht. Wenn ich Ihnen die Dinge nicht gut genug erkläre, schlage ich vor, dass Sie versuchen, sich ein Exemplar von Zees ausgezeichnetem Feldtheoriebuch auszuleihen und die Abschnitte über die große Vereinigung zu lesen. Seine Beispiele sind meinen ziemlich ähnlich, obwohl ich hier aus der Erinnerung arbeite. Alle Fehler sind meine. Ich bemühe mich auch nicht sehr um Vorzeichen und Faktoren von zwei dafür.

Die elektroschwache Eichgruppe des Standardmodells ist SU(2)xU(1). Die SU(2)-Generatoren wirken auf Isospin-Indizes und U(1) ist die Hyperladung. Also, wenn jemand sagt, dass eine Reihe von Feldern$\psi_i$verwandeln in die$R$Darstellung sie bedeuten, dass die Transformationen

$$\delta\psi_i \propto \epsilon_A \left(T^{A(R)}\right)^j_i \psi_j + \epsilon_Y Y \psi_i$$ sind eine Symmetrie, wo $\epsilon_A$Und $\epsilon_Y$sind die Transformationsparameter und $T^{A(R)}$Und $Y$sind die Generatoren in der gegebenen Darstellung. Dies gilt im Wesentlichen für jede Eichtheorie. Für SU (2) können Sie speziell die Drehimpulstheorie seit der Algebra von verwenden $SO(3)$Und $SU(2)$sind gleich. Die Begriffe Singulett, Dublett usw. beziehen sich lediglich auf die Anzahl der Felder in der Darstellung. Beispielsweise hat ein Dublett zwei Felder

$$\Psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \end{array} \right)$$

und die SU(2)-Generatoren sind proportional zu den üblichen Pauli-Matrizen

$$T^{A(1/2)} = \frac{1}{2} \sigma^A,\ A=1,2,3$$

Dies sind NICHT die Drehimpulsgeneratoren. Sie haben nichts mit der Raumzeit zu tun und der Isospin-Index ist kein Raumzeit-Index. Es ist einfach so, dass, weil die Gruppe SU(2) ist, die Algebra mit der des Drehimpulses identisch ist. Die physikalische Interpretation ist völlig anders.

Jetzt, der Hauptteil ist, dass Ihre Frage am besten anhand eines Beispiels beantwortet wird. Wenn Sie die Eichgruppe des Standardmodells in eine größere Gruppe einbetten (z. B. für eine große Vereinigung), können Sie den Higgs-Mechanismus verwenden, um den neuen Eichbosonen Masse zu verleihen und sie über die Energieskala zu heben, an der Sie interessiert sind. Im allgemeinen Fall Sie betten SU(2)xU(1) (oder was auch immer) in Ihre größere Gruppe ein, zerlegen dann die größere Gruppe, indem Sie den zusätzlichen Eichbosonen eine schwere Masse geben, dann schreiben Sie den Wechselwirkungsterm für Ihre Materiefelder auf und konzentrieren sich nur Identifizieren Sie die nicht unterdrückten Wechselwirkungen auf den leichten Eichbosonen unter Verwendung der expliziten Formen der Generatoren und lesen Sie die Quantenzahlen in Ihrer ununterbrochenen Eichgruppe ab. Im Allgemeinen zerfällt eine irreduzible Darstellung der größeren Gruppe in mehrere Teile, wenn nur die leichten Bosonen enthalten sind.

Ich gebe ein kurzes Beispiel dafür, wie dieses Brechen erreicht wird. Ich überlasse es Ihnen, sich über GUTs zu informieren, und verlassen Sie sich bitte auf die Standardreferenzen, um Faktoren von zwei und Vorzeichen richtig zu machen.

Angenommen, Sie haben SU(3) und zerlegen es in SU(2)xU(1) (die normalen GUT-Strategien sind SU(5) und SO(10), aber trotzdem). SU(3) hat 8 Generatoren, während SU(2)xU(1) nur 4 hat. Es gibt also 4 zusätzliche Eichbosonen, die wir durch ein vernünftig gewähltes Higgs loswerden müssen.

Die Generatoren von SU(3) sind die Gell-Mann-Matrizen $g_i$für$i=1,\cdots,8$. Wir können eine SU(2)-Untergruppe identifizieren, die von generiert wurde$g_1,g_2,g_3$und ein U(1), das mit dem erzeugten SU(2) kommutiert$g_8$. Diese werden die Isospin- und Hyperladungsgeneratoren unserer ununterbrochenen SU(2)xU(1). Die anderen Generatoren müssen Eichbosonen entsprechen, die durch den Higgs-Mechanismus eine Masse erhalten.

Nehmen wir ein adjungiertes Higgs (acht Komponenten in Eins-zu-Eins-Korresonanz mit den Generatoren) und gehen zu einem Messgerät, bei dem der Vakuumerwartungswert (vev) in ist$g_8$Komponente:

$$<\phi> = v g_8$$

Die Massenmatrix für die Eichbosonen wird

$$M_{ij} = e^2 \mathrm{Tr}\left( [g_i, <\phi>] [g_j, <\phi>] \right)$$

Wo$e$ist die (hier ungewöhnliche Schreibweise) SU(3)-Kopplungskonstante und$[ , ]$ist der Matrixkommutator. Beachten Sie, dass mir hier möglicherweise ein Vorzeichen oder ein numerischer Faktor fehlt. In jedem Fall entsprechen jene Generatoren, die mit dem vev pendeln, Eichbosonen, die masselos bleiben, während diejenigen, die nicht pendeln, eine Masse der Größenordnung aufnehmen$e v$. Sie werden sehen, wenn Sie die Kommutatoren berechnen, dass dies nur die Bosonen auswählt, die masselos bleiben sollen (1,2,3,8) und die, die eine Masse erhalten wollen (4,5,6,7). Dieses Higgs wird also das Brechen von SU (3) -> SU (2) x U (1) erreichen. Wir identifizieren die SU(2)-Generatoren als$T^1 = g_1$usw. und der U(1)-Generator als$Y = g_8$.

Jetzt können wir darüber sprechen, Materiedarstellungen in die Theorie einzubetten und zu sehen, wie sie sich zersetzen. Nehmen Sie ein Dirac-Feld in der Fundamentalen von SU(3). Dies ist ein Triplett (drei Komponenten), das sich wie ein Vektor transformiert, auf den die Gell-Mann-Matrizen einwirken (das ist alles, was "fundamental" in diesem Zusammenhang bedeutet). Dies ist eine einfache Verallgemeinerung des vorherigen Beispiels SU(2):

$$\Psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \end{array} \right)$$

Der Interaktionsterm im Lagrange wird sein

$$L \supset e A^i_\mu \bar{\Psi} g_i \gamma^\mu \Psi$$

bei dem die$A^i_\mu$sind die verschiedenen Eichbosonen. Fangen Sie jetzt an, darauf zu reagieren$\Psi$mit den verschiedenen Generatoren, um zu sehen, wie die verschiedenen Eichbosonen koppeln. Da die 4-, 5-, 6- und 7-Bosonen massiv sind, verschwinden sie aus der Theorie. Diese vermitteln Interaktionen, die sich ändern$\psi_1$Und$\psi_2$hinein$\psi_3$und umgekehrt. Diese Wechselwirkungen werden durch die Massen der schweren Bosonen unterdrückt und sind analog zu sehr seltenen Prozessen wie dem Protonenzerfall, der in GUTs stattfinden sollte. Die verbleibenden masselosen Bosonen mischen die nicht$\psi_1$Und$\psi_2$mit$\psi_3$, also zerfällt die Darstellung in zwei Teile: ein Dublett ($\psi_1$Und$\psi_2$), die sowohl die SU(2)-Wechselwirkung als auch Hyperladung spürt, und ein Singulett$\psi_3$die nur die Hyperladungsinteraktion spürt. Wir sagen, dass das Brechen in einem 3 -> 2 + 1-Muster erfolgt. Die Isospin- und Hyperladungs-Quantenzahlen der verschiedenen Felder können Sie aus der Lagrange-Wechselwirkung ablesen.

Ein weiteres Beispiel ist ein Materiefeld in der gleichen Darstellung wie das Higgs, das Adjoint (Oktect). Diesmal betrifft die Lagrange-Wechselwirkung den Kommutator der Generatoren$g_i$mit dem Materiefeld. Auch hier kann man die 4,5,6 und 7-Generatoren ignorieren und die Isospin/Hyperladungs-Quantenzahlen aus dem Lagrangian ablesen. Dies ist ein komplizierteres Beispiel, aber der Trick besteht darin, das Materiefeld als spurlose hermitische Matrix zu schreiben$\Psi^i_j$Wo$i,j=1,2,3$. Diese zerfällt in mehrere Teile:$\Psi^a_b$Wo$a,b=1,2$die weiter in eine Spur (Singlet) und eine spurlose 2x2-Matrix (Triplett) zerfällt,$\Psi^3_b$Und$\Psi^a_3$(Dubletten).$\Psi^3_3$ist eigentlich die Singulett-Spur, die wir bereits gezählt haben. Also 8 -> 1 + 3 + 2 + 2 in diesem Fall. (Ich hoffe, das ist richtig, ich verwende keine Referenz und ich gehe ziemlich schnell! Bitte, jemand korrigiert mich, wenn ich falsch liege.)

Ich hoffe, das trägt etwas zur Beantwortung Ihrer Frage bei.