Dies ist eine Frage, die in vielen verschiedenen Foren gepostet wurde. Ich dachte, vielleicht hätte hier jemand eine bessere oder konzeptionellere Antwort als ich zuvor gesehen habe:
Warum kümmern sich Physiker um Darstellungen von Lie-Gruppen? Wenn ich für mich selbst über eine Darstellung nachdenke, die bedeutet, dass eine Art Gruppe auf einem Vektorraum wirkt, auf was für einen Vektorraum wirkt diese Lie-Gruppe?
Oder müssen bestimmte Dinge unter einer Gruppenaktion unveränderlich sein? Vielleicht ist das eine dumme Frage, aber ich dachte, es wäre ein guter Anfang ...
Zur Verdeutlichung denke ich speziell an die Symmetriegruppen, an die die Leute in Bezug auf das Standardmodell denken. Es ist mir egal, warum es eine bestimmte Gruppe sein könnte, sondern eher, wie wir die Gruppe handeln sehen, worauf handelt sie? usw.
Lassen Sie es mich versuchen. Wenn wir eine Theorie konstruieren, vermuten wir, dass die Objekte, mit denen sie sich befasst, ziemlich kompliziert sein können. Natürlich wollen wir die einfachsten «Bausteine» finden, aus denen die komplizierten Objekte bestehen. Wenn unsere Theorie absolut willkürlich wäre, könnten wir diese einfachen Bausteine überhaupt nicht klassifizieren. Glücklicherweise stellen wir bei der Konstruktion von Theorien fest, dass die von uns spezifizierte Lagrange-Funktion und der Vakuumzustand gewisse Symmetrien aufweisen. Sobald wir es bemerkt haben, ist es reine Mathematik zu zeigen, dass die einfachen Objekte in unserer Theorie gemäß Darstellungen der Symmetriegruppe des Lagrange- und des Vakuumzustands klassifiziert werden sollten.
Beachten Sie, dass es einige für uns offensichtliche Symmetrien gibt, die wir wahrnehmen (wie die Invarianz unter der Poincare-Gruppe), und dass es einige Symmetrien gibt, die wir erfinden (wie nicht-abelsche Eichsymmetrien). Im letzteren Fall wissen wir, dass konstruktionsbedingt alle makroskopischen Zustände (einschließlich des Vakuumzustands) unter dieser neuen internen Symmetriegruppe invariant sein müssen. Dies gibt uns eine Abkürzung für die Behauptung, dass das einfache Objekt in unserer Theorie gemäß den Repräsentationen der neuen Gruppe klassifiziert werden muss.
Und was die konkrete Frage betrifft:
das fundamentale Teilchen wirkt also auf die Quantenzustände?
Wenn wir sagen, dass ein Teilchen oder ein Feld in der Darstellung R der Gruppe G ist, meinen wir nicht, dass die Teilchen mit Matrizen der Darstellung R assoziiert sind, die auf etwas anderes wirken. Wir meinen vielmehr, dass das Teilchen in Form von Eigenzuständen von Matrizen geschrieben werden kann, die Operatoren in R darstellen. Es sind also die Symmetriegruppentransformationen, die auf die Teilchen einwirken.
Der Vektorraum, auf den eingewirkt wird, ist typischerweise ein Hilbert-Zustandsraum in der Quantenmechanik; Grob gesagt gibt es eine Basis dieses Vektorraums, die in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit der Menge der Möglichkeiten für ein physikalisches System steht. Das einfachste Beispiel, um sich einen Überblick zu verschaffen, ist das Spin-1/2-Teilchen (2-Dim-Darstellung von SU(2)), das in jedem einführenden Buch zur Quantenmechanik erklärt wird.
Siehe das Wigner-Theorem , es erklärt rigoros die Beziehung zwischen einer Gruppe von Symmetrien und Zuständen eines physikalischen Teilchens.
jc
Erich