Was ist die Idee hinter dem Zählen der Anzahl angeregter Zustände und der Darstellung einer Gruppe?

Beim Lesen von Polchinskis Kapitel 1 stieß ich auf Seite 24 auf Folgendes:

„Zum Beispiel die ( D − 1 ) dimensionale Vektordarstellung von S Ö ( D − 1 ) zerfällt in eine Invariante und a ( D − 2 ) -Vektor unter dem S Ö ( D − 2 ) wirkt auf die Querrichtungen,

v → = ( v 1 , 0 , 0 , … ) + ( 0. v 2 , v 2 , … , v D − 1 )

Wenn sich also ein massives Teilchen in der Vektordarstellung befindet S Ö ( D − 1 ) , sehen wir einen Skalar und einen Vektor, wenn wir uns die Transformationseigenschaften unten ansehen S 0 ( D − 2 ) . Diese Idee erstreckt sich auf jede Darstellung: Man kann immer das Ganze rekonstruieren S Ö ( D − 1 ) Spindarstellung aus dem Verhalten unter S Ö ( D − 2 ) . "

Ich kann zeigen, dass der zweite angeregte Zustand gegeben ist durch

a − 1 ich a − 1 J | 0 ⟩ ⨁ a − 2 ich | 0 ⟩
Wo ich , J läuft von { 2 , D − 1 } und behandelt sie symmetrisch, die Nr. von angeregten Zuständen wäre ( D + 1 ) ( D − 2 ) 2 was mit den Dimensionen eines spurlosen symmetrischen Irreps übereinstimmt S Ö ( D − 1 ) .

Meine Frage ist, wie wir sicher sein können, indem wir nur Zahlen abgleichen, und was bedeutet das physikalisch und gibt es einen Mechanismus, um dies konsistent zu tun? Was bedeutet dieses Geschäft des „Rekonstruierens S Ö ( D − 1 ) Vertretung ab S Ö ( D − 2 ) " bedeuten ?

Ich kenne mich ein wenig mit Gruppentheorie wie Cartan-Matrizen, Dynkin-Diagrammen und der Young Tableaux-Methode für die SU (N) -Theorie aus, daher ist es in Ordnung, wenn mir jemand eine gute Referenz geben könnte. Eine genaue Antwort wäre natürlich super :).

Antworten (1)

Sie können die (nicht reduzierbare) Darstellung von Gruppen als Summe von (nicht reduzierbaren) Darstellungen von Untergruppen zerlegen.

Ausgehend von einer spurlosen symmetrischen irreduziblen Darstellung von S Ö ( D − 1 ) :

(1) R ich J = 1 2 ( v ich v J + v J v ich ) − 1 D − 1 δ ich J ( ∑ ich = 1 D − 1 v k v k ) , mit ( ich , J ) In [ 1 , D − 1 ]

Du denkst darüber nach X 1 als Skalar unter a S Ö ( D − 2 ) Verwandlung an X 2 , X 3 . . . X D − 1 , dann hast du, Zersetzung R ich J in irreduziblen Darstellungen von S Ö ( D − 2 ) :

A) Die triviale Darstellung: R 11

B) Die Vektordarstellung: R 1 ich , mit ich In [ 2 , D − 1 ]

C) Die spurlose symmetrische Darstellung: R ich J + δ ich J 1 D − 2 R 11 , mit ich , J In [ 2 , D − 1 ]

Hallo, ich habe es für den zweiten/dritten angeregten Zustand verstanden, ich wollte wissen, wie es verallgemeinert wird.
Meinten Sie: Wie man jede irreduzible Darstellung von zerlegt S Ö ( D − 1 ) in irreduziblen Darstellungen von S Ö ( D − 2 ) ?
Nein, wie man es für höhere angeregte Zustände erweitert. Und wie man eine solche Zuordnung eindeutig identifiziert.
IMHO ist es dasselbe. Zum Beispiel, a − 1 ich ist in der irreduziblen fundamentalen (vektoriellen) Darstellung von S Ö ( D − 1 ) , ( a − 1 ich a − 2 J − a − 1 J a − 2 ich ) ist in der irreduziblen antisymmetrischen Darstellung von S Ö ( D − 1 ) usw.
Was ist die Idee hinter dem Zählen der Anzahl angeregter Zustände und der Darstellung einer Gruppe?
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