Müssen alle Symmetrien Konsequenzen haben?

Der Satz von Noether wird übereifrig angewendet – er gilt nur für Theorien mit einer Lagrange-Formulierung oder für die Quantenmechanik. Dies gilt für fundamentale Systeme, aber für nicht fundamentale Systeme können Sie klassische Gleichungen haben, die symmetrisch sind. Die Symmetrie impliziert kein Erhaltungsgesetz.

Die Symmetrie ist nicht ohne Folgen, aber sie hat die Folgen von symmetrischen Lösungen! Wenn die Gleichungen unter einer Transformation symmetrisch sind, müssen die Lösungen in Familien kommen, die unter der Symmetrie ineinander übergehen. Für klassische Systeme ist dies keine besonders tiefgreifende Konsequenz. Ich werde also Systeme betrachten, bei denen dies die einzige Konsequenz ist.

Betrachten Sie als dummes Beispiel die Newtonschen Gesetze für ein Objekt, das in einem Gravitationsfeld frei fällt. Die Beschleunigung ist in z-Richtung gleichmäßig, aber der z-Impuls bleibt nicht erhalten. Der Grund ist, dass die Lagrange-Funktion in z-Richtung nicht invariant ist. Aber Sie würden es nicht wissen, wenn Sie sich die Bewegungsgleichungen ansehen.

Betrachten Sie für ein weniger dummes Beispiel die Newtonschen Gesetze für ein Teilchen mit konstanter Kraft und a$v^3$Reibungsgesetz, sprich:

Und es gibt eine Symmetrie in der Zeitübersetzung und für Übersetzungen in x. Aber abgesehen von der trivialen Tatsache, dass Lösungen in x und in t übersetzbar sind, sagt es Ihnen nichts weiter.

Diese Probleme sind irgendwie albern, also gebe ich den Großvater aller Beispiele – der inkompressible Navier schürt Gleichungen mit Hyperviskosität (so dass das, was ich sage, definitiv wahr ist). Hier haben Sie einen zeitabhängigen Diffeomorphismus$X(x)$vom n-dimensionalen Raum, dessen allgemeiner Punkt x heißt, zu sich selbst.

Die zeitliche Ableitung von X ist das Geschwindigkeitsfeld v, und v gehorcht der Gleichung

Bei dem die$\epsilon$Der Begriff wird eingeführt, um sicherzustellen, dass die Gleichung ein eindeutiges und glattes Anfangswertproblem hat, sodass der X-Diffeomorhismus sinnvoll ist. Diese Gleichung ist translationsinvariant gegenüber t-Translationen und vollständig diffeomorphismusinvariant - das Zusammensetzen von X mit einem Diffeomorphismus erfordert eine Lösung für eine Lösung, hat jedoch keine Energieerhaltung (obwohl formal die Grenze$\nu=\epsilon=0$tut), noch hat es eine Erhaltungsgröße, die der Diffeomorphismus-Invarianz entspricht. Die Diff-Invarianz ist eine Eichredundanz in der X-Beschreibung.

Diese Symmetrien haben immer noch die triviale Konsequenz symmetrischer Lösungen – Sie können also jede Lösung zeitlich übersetzen und einen Diffeomorphismus an den Anfangspositionen durchführen. Es bedeutet einfach nichts für das Studium der Gleichung.

Was meinst du mit "Folgen"?

Klassischerweise könnten topologische Zahlen zu dieser Rechnung passen. In der Quantenfeldtheorie hängt das davon ab, ob es sinnvoll ist, Überlagerungen topologischer Sektoren zu betrachten. Wenn es eine S-Dualität gibt, könnte dies möglicherweise der Fall sein.

Besteht eine stetige Symmetrie der Wirkung, so ist es notwendig, bei der Quantisierung den Quotienten durch die Symmetrie zu nehmen – maße fixieren. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, nur die Störungstheorie zu betrachten. Die quadratische Kopplung in der Lagrange-Funktion ist entlang des Flusses der Symmetrie konstant, so dass sie in den tangentialen Raumrichtungen entlang dieses Flusses eine entartete Ableitung aufweist und daher nicht invertierbar ist. Daher werden wir keinen Verbreiter finden können.

Abstrakt funktioniert die Störungstheorie, wenn die klassische Theorie, die man quantisiert, integrierbar ist. Wenn man zeigt, dass ein 2n-dimensionales System integrierbar ist, muss man n Poisson-kommutierende Bewegungsintegrale angeben. Die kontinuierliche Symmetrie ergibt nach dem Noether-Theorem eins, und n ist das höchstmögliche in 2n Dimensionen, also muss man n Bewegungsintegrale finden, die sich linear zur Noether-Ladung der Symmetrie kombinieren. Mit anderen Worten, man schließt die Symmetrie schließlich in die Lösung ein, unabhängig davon, ob man das beabsichtigt hat.

Ich habe das Gefühl, dass es seltsamere Dinge geben könnte, die nicht störend passieren, aber ich bin mir nicht sicher. Wenn man will, dass alle Observablen auch der Symmetrie gehorchen, kann man sich sicherlich einen BRST-Operator ausdenken. Die Existenz dieses Operators impliziert, dass einige Zustände im "großen" Hilbert-Raum, der die Symmetrie nicht berücksichtigt, notwendigerweise eine Nullnorm haben. Kann man das in allen Fällen?

Andererseits ist es möglich, Symmetrien zu verlieren, wenn man quantisiert. Normalerweise ist dies die Schuld des Regularisierungsschemas, aber in bestimmten Fällen kann man beweisen, dass kein Regularisierungsschema unter der Symmetrie invariant ist. Ein Beispiel ist die 2+1-dimensionale Chern-Simons-Theorie mit Wilson-Schleifen. Obwohl der Lagrange-Operator topologisch vollständig invariant ist, muss man einen Rahmen von Schleifen auswählen, um Selbstüberschneidungen zu regulieren. In ähnlicher Weise gibt es Theorien mit offensichtlich konformen Lagrange-Operatoren, die jedoch eine brechende Skaleninvarianz bei der Regularisierung erfordern.

Diskrete Symmetrien haben natürlich einen ganz anderen Geschmack.