Bogoliubov-Transformation mit einer leichten Wendung

Dies ist ein Eigenwertproblem.

Nehmen wir an, Ihre Bogoliubov-Transformation hat die Form:$(a_k,b_k)^T=X(c_k,d_k)^T$. Was diese Transformation bewirkt, ist, dass Ihr Hamiltonian wird:$H_k=w_1c_k^\dagger c_k+w_2 d_k^\dagger d_k$, wobei die Antipendelbeziehung für neue Feldoperatoren gilt$c_k$Und$d_k$.

Jetzt können Sie das überprüfen$X$ist nur die Matrix, deren Spalten nur die normalisierten Eigenvektoren Ihrer ursprünglichen Matrix sind.

Ich möchte nur darauf hinweisen, dass der gegebene Hamilton-Operator keine zu diagonalisierende Bogoliubov-Transformation benötigt, da er die Form eines Ein-Teilchen-Operators hat (allerdings in zweiter Quantisierung), dh keine „außerdiagonalen“ Terme von enthält die Form$a a$,...

Sie können es einfach diagonalisieren, indem Sie die Kopplungsmatrix diagonalisieren.

@leongz: Obwohl diese Matrix auch für den wahren Bogoliubov-Fall hermitesch ist, erhalten Sie im Allgemeinen die falsche Antwort für die Eigenenergien und Modi, wenn Sie sie diagonalisieren. Die resultierenden Moden wären nicht bosonisch, dh es wäre keine kanonische Transformation. Sie können die richtige Antwort (die viel leistungsfähiger ist als der typische Ansatz für die Bogoliubov-Operatoren) durch Diagonalisieren erhalten$\Sigma H$, Wo$\Sigma$ist die Pseudonorm auf dem sympletischen Raum, an dem Sie arbeiten. Beachten Sie jedoch, dass diese Matrix nicht immer hermitesch ist (und nicht immer diagonalisierbar ist - aber das ist physikalisch: Für jeden Goldstone-Modus fehlt ein bosonischer Modus).

Der Hamiltonoperator kann geschrieben werden als

$\sum_k \psi^\dagger M \psi$

Wo$\psi=\begin{pmatrix}a_k \\ b_k\end{pmatrix}$Und$M=\begin{pmatrix}\omega_0 & \Omega f_k^* \\ \Omega f_k & \omega_0\end{pmatrix}$.

Wir führen eine neue Reihe von Operatoren ein$\phi=\begin{pmatrix}c_k \\ d_k\end{pmatrix}$, über$\psi=U \phi$Wo$U$ist notwendigerweise eine 2x2-Matrix. Das gibt uns

$\psi^\dagger M \psi = \phi^\dagger N \phi$

Wo$N = U^\dagger M U$. Wir wünschen uns, dass diese neue Form des Hamilton-Operators diagonal ist. aka wir wünschen uns die Matrix$N$diagonal sein. Gemäß dem Standardverfahren zum Diagonalisieren einer Matrix , einer Matrix$M$wird diagonalisiert durch$M \rightarrow U^\dagger M U$Wo$U$ist die Matrix mit den Eigenvektoren von$M$wie seine Säulen.

Daher finden wir zuerst die Eigenvektoren von$M$, ersetzen Sie diese als Spalten in einer 2x2-Matrix$U$, diagonalisieren$M$so dass$N=U^\dagger M U$, dann ist unser diagonalisierter Hamiltonoperator

$H=\sum_k\phi^\dagger N \phi$

Wo$\phi=U^{-1} \psi$.

Danke an @luming und @Vladimir für die Hinweise.

Der Hamilton-Operator ist bereits durch Impuls diagonalisiert. Sie müssen neue Bose-Operatoren definieren
$c_k = u_k a_k + v_k b_k \\ d_k = w_k a_k+x_k b_k$
Dies ist eine allgemeine Form mit einigen komplexen Konstanten$u_k, v_k, w_k, x_k$für jede$k$unabhängig. es gibt auch$c^+_k$Und$d^+_k$, konjugiert mit dem vorherigen. Jetzt brauchen Sie$c_k$Und$d_k$entsprechen einigen Quasi-Teilchen, also
$[c_k, c_k^+] = 1 \\ [d_k, d_k^+] = 1 \\ \text{(all other commute to zero)}$
Diese Gleichung gibt Ihnen einige Einschränkungen für Konstanten$u_k, v_k, w_k, x_k$. Aber um sie definitiv zu finden, müssen Sie sie durch Hamiltonian ersetzen. Danach müssen Sie erhalten
$H = \sum_k C_1 c^+_k c_k + C_2 d^+_k d_k + C_3 c^+_k d_k + C_4 d^+_k d_k.$
Konstanten$C_1, C_2, C_3, C_4$abgeleitet von$\omega_0, \Omega, f_k$Und$u_k, v_k, w_k, x_k$. Sie müssen dann lösen$C_3 = 0, C4 = 0$Gleichungen zu erhalten$u_k, v_k, w_k, x_k$. Dann bekommst du
$H = \sum_k C_1 c^+_k c_k + C_2 d^+_k d_k,$
mit gefunden$C_1, C_2$. Damit ist die Diagonalisierung abgeschlossen.