Zeitumkehr-Symmetrie

Für spezielle Fälle können wir einige allgemeine topologische Eigenschaften des Systems ableiten. Dies wurde in dem jüngsten "Trendthema" der Physik der kondensierten Materie, topologischen Isolatoren, verwendet. Der Einfachheit halber beschränke ich mich im Folgenden darauf$2\text{D}$Systeme, obwohl man alles verallgemeinern kann$3\text{D}$.

Der Zeitumkehroperator ist ein antiunitärer Operator, der die folgende Darstellung zulässt:

$\hat{\Theta} = \exp \left(i\pi\hat{S}_y/\hbar \right)K$

Wo$K$bedeutet komplexe Konjugation und$\hat{S}_y$ist der Spinoperator entlang der$\hat{y}$Achse. Betrachten Sie einen fermionischen Hamiltonoperator für Spin$s=1/2$Elektronen. Dann

$\hat{\Theta} =-\hat{1}$[*]

In diesem Fall gilt das Kramersche Theorem :

Lassen$\hat{\mathcal{H}}$sei ein$T$-invarianter (fermionischer) Hamiltonoperator. Dann sind alle Eigenzustände des Hamiltonoperators zweifach entartet.

Der Beweis dieser Aussage ist einfach, sobald Sie [*] verstanden haben. Als Konsequenz,$T$-invariante fermionische Systeme müssen topologisch geschützte zweifach entartete Zustände haben. Der$T$-invarianter Hamiltonoperator erfüllt

$\hat{\Theta}\hat{\mathcal{H}} (\mathbf{k}) =\hat{\mathcal{H}} (-\mathbf{k}) \hat{\Theta}$

und kann durch einen neuen topologischen Index namens the klassifiziert werden$\mathbb{Z}_2$Index. Der$\mathbb{Z}_2$Index,$\nu$, ist eine ganze Zahl, die durch die Anzahl der Flankenzustände modulo gegeben ist$2$und unterscheidet die$\nu = 0$oder Isolierphase aus der$\nu = 1$, der topologische Isolator. Somit sind die Äquivalenzklassen von$T$-invariante Hamiltonoperatoren für Isolatoren können nach ihr klassifiziert werden$n = 0$Thouless-Kohmoto-Nightingaleden Nijs-Invariante [dh seine$C=0$, erster Chern-Index] und der zusätzliche Index$\nu$. Dies ergibt eine$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$Symmetrie für die$2\text{D}$Bandstrukturen.

Was können wir schließlich aus dem Hamiltonian schließen? Zum Beispiel, dass wir zeitumkehrinvariante elektronische Zustände mit einer elektronischen Massenbandlücke haben, die den Transport von Ladung und Spin in lückenlosen Randzuständen unterstützt. Genau das bekommen wir in der sogenannten Quantenspin-Hall-Phase .