Eng bindender Hamiltonoperator für 2D-Gitter mit endlicher Dimension und Nanodraht

Das „einzige“, was Sie tun müssen, ist, ein Mapping zu erstellen. Sie haben eine Basisfunktion bei

Dann müssen Sie die Regeln für Matrixelemente festlegen. Hier ist ein Beispielcode (der in 10 Minuten geschrieben wurde, möglicherweise einige Fehler enthält). Sehen Sie sich an, wie der Sparse-Befehl funktioniert, um zu verstehen, wie der Hamilton-Operator aufgebaut ist. Wie Sie sehen können, gibt es nichts Schwieriges. Nur ist es etwas mühsam, den Überblick über die Indizierung zu behalten. Die eigentliche Diagonalisierung ist dann nur noch eine Zeile. Dem Beispiel fehlt k_z, also müssen Sie das dann selbst einfügen. Dies bedeutet, dass Sie bei der Konstruktion Ihrer Matrixelemente die Streuung berücksichtigen müssen.

Na = 20; % Number of atoms in x directions
Nb = 20;
Ni = 2;

H_S = [ 1.0 0.1 ; 0.1 1.0 ]; % Hamiltonian for same site interaction
H_NN = [ 0.1 0.0 ; 0.0 0.1 ]; % Hamiltonian for nearest neighbour interaction

% Values to store the constructed sparse hamiltonian
nn1 = [];
nn2 = [];
Hnn = [];

% Loop over all lattice sites
for a1=1:Na, for b1=1:Nb
  % Loop over all neighbouring sites
  for da=-1:1
  a2=a1+da;
  if (a2 <1 || a2 > Na)
    continue;
  end
  for db=-1:1
    b2=b1+db;
    if (b2 <1 || b2 > Nb)
      continue;
    end
    % Loop over all basis function pairs
    for i1=1:Ni, for i2=1:Ni
      n1 = ((a1-1) + (b1-1) * Na) * Ni + i1; % Magic happends here
      n2 = ((a2-1) + (b2-1) * Na) * Ni + i2;
      NN = max(abs(da),abs(db));
      if (NN == 0)
        nn1 = [ nn1 n1 ]; % XXX Super slow
        nn2 = [ nn2 n2 ];
        Hnn = [ Hnn H_S(i1,i2) ];
      end
      if (NN == 1)
        nn1 = [ nn1 n1 ]; % XXX Super slow
        nn2 = [ nn2 n2 ];
        Hnn = [ Hnn H_NN(i1,i2) ];
      end
    end,end
  end
end, end
end
H = sparse(nn1, nn2, Hnn);
[U,E] = eig(H);
plot(diag(E));

Aktualisieren:

Dies sind die Schritte (IHMO), um einen einfachen TB-Code zu erstellen.

1) Ermitteln Sie die Positionen der Atome und Atomtypen (Nehmen Sie zum Beispiel die kubische 8-Atom-Einheitszelle von GaAs und wiederholen Sie sie 15 x 15 x 1 Mal und schneiden Sie dann Atome aus, die zu weit von der Mitte entfernt sind, um einen kugelförmigen Draht zu erzeugen). Protip: Verwenden Sie Gitterebenen und bekannte Oberflächen zum Schneiden.

2) Jedes Atom wird haben$N_b$Basisfunktionen. Ihr Hamiltonian wird aus Blöcken von bestehen$N_b \times N_b$. In Matlab-Notation können alle Hamilton-Matrix-Elemente zwischen zwei Stellen (indiziert mit a1 und a2) geschrieben werden als:

H((a1*N):(a1*N+N-1), (a2*N):(a2*N+N-1) = Hloc;

3) Schleife über alle Atome in deiner Zelle (das bedeutet alle (sagen wir) 200 Atome, nicht die Einheitszelle von GaAs). Schleifen Sie für jedes Atom über seine Nachbarschaft (denken Sie daran, auch in die benachbarten Zellen zu schauen).

4) Berechne alle Hamilton-Matrix-Elemente dieser Atompaare und ADDiere sie an geeigneter Stelle im Hamilton-Operator. (Denken Sie daran, den Phasenfaktor hinzuzufügen, wenn sich die Paare nicht in derselben Einheitszelle befinden).

Bewerten Sie den Unterschied zwischen zwei Atompositionen, und teilen Sie ihn noch besser durch a/4, wobei a Ihre Gitterkonstante ist.

Sie könnten am Ende einen Vektor wie diesen (-1,-1,-1) haben, bei dem Sie leicht ableiten können, dass dies die Interaktion des nächsten Nachbarn ist, und die entsprechenden Matrixelemente hinzufügen.

In$O_h$Symmetrie, könnten Sie den Absolutwert der drei Elemente des Differenzvektors nehmen und sie sortieren, um einen eindeutigen Deskriptor des Matrixelements zu erhalten. Die Zinkblende-Struktur hat eine geringere Symmetrie, aber es könnte ähnliche Tricks geben.