Numerische analytische Fortsetzung für die Greensche Funktion

Es gibt eine Vielzahl von Optionen für diese Aufgabe, aber lassen Sie mich zunächst betonen, dass dies ein äußerst kompliziertes und schwieriges Thema ist, das immer noch Gegenstand aktueller Forschung ist, da die analytische Fortsetzung ein schlecht gestelltes Problem ist !

1) Die „analytische“ analytische Fortsetzung kann durchgeführt werden, wenn die Funktion$f(\mathrm i\omega)$unter Betrachtung ist eine rationale Funktion von$\mathrm i\omega$. So

$$f(\mathrm i\omega)=\frac{1}{\mathrm i\omega}$$ kann bis zur komplexen Ebene fortgesetzt werden $\mathrm i\omega \rightarrow z\in\mathbb C$während $$f(\mathrm i\omega)=\frac{e^{\mathrm i\omega\beta}}{\mathrm i\omega}$$ ist keine rationale Funktion von $\mathrm i\omega$und das Ersetzen hier ist ein Fehler. Stattdessen muss man zuerst die Exponentialfunktion auswerten und finden $e^{\mathrm i\omega\beta}=\pm 1$je nach Statistik.

2) Aus dieser Ersetzungsregel folgt direkt die Entwicklung einer Funktion in einer endlichen Laurent-Reihe

$$f(z)=\sum^{m_2}_{n=m_1} a_n z^n,\;\; m_1,m_2\in\mathbb Z$$ wobei die Koeffizienten aus den bekannten Zahlenwerten berechnet werden können $m_2-m_1$Matsubara-Energien.

3) Eine der ältesten Methoden, um eine numerische analytische Fortsetzung zu machen, ist die Pade-Näherung. Die betreffende Funktion wird in einem fortgesetzten Bruch entwickelt

$$f(z)=b_0+\frac{a_1z}{1-\frac{a_2z}{1-\frac{a_3z}{1-...}}}.$$ Die Koeffizienten können aus einer Pade-Tabelle berechnet werden, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_table

Methode 1) ist exakt und außer für fast triviale Berechnungen von geringem praktischem Wert. 2) und 3) leiden unter Cutoff-Effekten aufgrund der begrenzten Menge verfügbarer Matsubara-Punkte, an denen der Funktionswert auch einen numerischen Fehler aufweisen könnte, wie dies bei Daten aus Quantum-Monte-Carlo-Berechnungen der Fall ist. Tatsächlich ist die analytische Fortsetzung jedoch sehr volatil gegenüber Cutoff- und Rauscheffekten . Hier müssen physikalische Überlegungen berücksichtigt werden .

Um den Cutoff zu bewältigen, kann man den Schwanz annähern (groß$\mathrm i\omega$bzw$z$Erweiterung) der Funktion mit einer analytischen Form, die sich oft aus dem Vielteilchenproblem oder allgemeinen physikalischen Notwendigkeiten exakt berechnen lässt, zB hat die 1-Teilchen-Greensche Funktion eines fermionischen Systems immer die Form$\frac{1}{z}+\frac{a_1}{z^2}+...$. Der Schwanz kann verwendet werden, um eine beliebige Anzahl von Expansionskoeffizienten zu berechnen, aber denken Sie daran, dass das interessante Niedrigenergiespektrum Ihres Systems stark von kleinen Matsubara-Energien und weniger vom Schwanz beeinflusst wird, also von der Berechnung einer großen Anzahl von Koeffizienten aus dem Schwanz man gewinnt wenig bis gar nichts. Die Behandlung des statistischen Rauschens ist noch heikler als der Cutoff und der Grund, warum viele Leute versuchen, das Rechnen auf der Matsubara-Achse ganz zu vermeiden .

4) Eine bekannte Methode für verrauschte Daten ist die Maximum-Entropie-Methode, über die Sie hier mehr lesen können http://arxiv.org/pdf/1001.4351v1.pdf , wo Sie auch Verweise auf alternative Techniken finden.