Festes Bindungsmodell in einem Magnetfeld

Der Hamiltonoperator ist gegeben durch

$$\begin{equation} H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right), \end{equation}$$ Wo $U\left(\mathbf{r}\right)$ist die potentielle Landschaft aufgrund des Kristallgitters. Das Bloch-Theorem behauptet, dass die Lösung des Problems $$\begin{equation} H\Psi_{\mathbf{k}}=E\left(\mathbf{k}\right)\Psi_{\mathbf{k}}, \end{equation}$$ ist in der Blochsummenform zu suchen $$\begin{equation} \Psi_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{R}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right), \end{equation}$$ Wo $N$ist die Anzahl der Einheitszellen, und $\phi$sind Atomorbitale, auch bekannt als Wannier-Zustände. Die entsprechenden Eigenwerte $E\left(\mathbf{k}\right)$, die abhängig vom Kristallimpuls Bänder bilden $\mathbf{k}$, werden durch Berechnung des Matrixelements erhalten $\langle\Psi_{\mathbf{k}}|H|\Psi_{\mathbf{k}}\rangle$

$$\begin{equation} \frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)} \int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)H\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right) \end{equation}$$ und letztlich von materialbezogenen Sprungintegralen abhängen $t_{12}=-\int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R_1}\right)H\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R_2}\right)$.

In Anwesenheit des Magnetfeldes ändert sich der Hamiltonoperator zu

$$\begin{equation} H=\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right), \end{equation}$$ Wo $q$ist die Ladung des Teilchens. Der zusätzliche Term führt zu Komplikationen, und die ursprüngliche Bloch-Summe wird unzureichend. Wie sich herausstellt, wird einfach ein Phasenterm hinzugefügt

$$\begin{equation} \Psi_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{R}}e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}+\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}}\right)}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right), \end{equation}$$ Wo

$$\begin{equation} G_{\mathbf{R}}=\int_{\mathbf{R}}^{\mathbf{r}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}, \end{equation}$$ löst das Problem. Die Hopping-Matrix-Elemente werden nun gelesen

$$\begin{align} \langle\Psi_{\mathbf{k}}|H|\Psi_{\mathbf{k}}\rangle=&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}\int d\mathbf{r}e^{-i\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}}}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]e^{i\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}^{\prime}}}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right)\nonumber\\ =&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}e^{i\frac{q}{\hbar}\int_{\mathbf{R}^{\prime}}^{\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}\nonumber\\&\times\int d\mathbf{r}e^{i\frac{q}{\hbar}\Phi\left(\mathbf{r}\right)}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}+q\nabla G_{\mathbf{R}^{\prime}}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right)\nonumber\\ =&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}e^{i\frac{q}{\hbar}\int_{\mathbf{R}^{\prime}}^{\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}\int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right). \end{align}$$ Die Beziehung $\nabla G_{\mathbf{R}^{\prime}}=\mathbf{A}$gilt für die enge Bindungsbedingung und für den Fall, dass das Magnetfeld auf der Skala des Kristallgitters invariant ist . Andererseits das Flussmittel $\Phi\left(\mathbf{r}\right)=\oint_{\mathbf{R}^{\prime}\rightarrow\mathbf{r}\rightarrow\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$größer ist, wenn der Integrand $\mathbf{r}$weiter von den beiden Vektoren entfernt ist $\mathbf{R}$Und $\mathbf{R}^{\prime}$, wo die Wannier-Zustände der Atomorbitale effektiv Null sind, während der Fluss verschwindet, wo das Hopping-Integral ungleich Null ist. Diese beiden Dinge im Hinterkopf zu behalten hilft, den Übergang von der zweiten zur dritten Zeile zu erklären.

Nun wird deutlich, dass die Matrixelemente dieselben sind wie im Fall ohne Magnetfeld, abgesehen vom aufgenommenen Phasenfaktor, der als Peierls-Phase bezeichnet wird. Das ist enorm praktisch, da wir dann unabhängig vom Magnetfeldwert die gleichen Materialparameter verwenden können und die entsprechende Phase rechnerisch trivial zu berücksichtigen ist. Für Elektronen läuft es darauf hinaus, den Hopping-Term zu ersetzen$t_{ij}$mit$t_{ij}e^{i\frac{e}{\hbar}\int_i^j\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}$. Beachten Sie schließlich, dass eine schöne und aufschlussreiche Erklärung für diese Phase auch in Feynmans Vorlesungen (Band III, Kapitel 21) zu finden ist.